UTCN 639, 640

Alex Stoica · Mesaj de **Alex Stoica** » 14 Iun 2018, 17:01

As avea nevoie de putin ajutor la exercitiile 639,640.

Felixx · Mesaj de **Felixx** » 14 Iun 2018, 23:11

638)
Facem substitutia: $u=\frac{3}{x}$
Atunci: $I=\int_{3}^{1}\frac{ln\frac{3}{u}}{3+\frac{9}{u^{2}}}\cdot \frac{-3}{u^{2}}du=\int_{1}^{3}\frac{ln3-lnu}{u^{2}+3}du=ln3\int_{1}^{3}\frac{du}{u^{2}+3}-I$
$2I=ln3\cdot \frac{1}{\sqrt{3}}arctg\frac{u}{\sqrt{3}}_{1-3}=ln3\frac{1}{\sqrt{3}}\left ( \frac{\pi }{3}-\frac{\pi }{6} \right )=ln3\frac{1}{\sqrt{3}}\frac{\pi }{6}$
Deci: $I=\frac{\pi ln3}{12\sqrt{3}}$

Scuze! Abia acum vad ca ai rezolvat nr. 638. Vrei sa-mi arati si mie cum l-ai rezolvat ?

Integrator · Mesaj de **Integrator** » 18 Iun 2018, 09:02

Alex Stoica scrie: ↑
14 Iun 2018, 17:01
As avea nevoie de putin ajutor la exercitiile 639,640.

Bună dimineața,

O idee pentru problema 639:
Aplicați metoda de integrare prin părți.Mai întâi notați $\rm arctg(x)=u$ .Care este expresia lui $dv$ ?Pentru calculele următoare se va ține cont și de formula $\rm arctg(x+1)-\rm arctg(x)=\rm arctg(\frac{1}{x^2+x+1})$ unde $x>0$ .
-----------------------------------
Cum s-ar putea rezolva și problema 640?

Toate cele bune,

Integrator

Mesaj de **ghioknt** » 19 Iun 2018, 21:49

Pentru $I=\int_{0}^{2}\frac{arctgx}{x^2+2x+2}dx$ propun schimbarea de variabilă dată de relația
$arctgt=arctg2-arctgx$ . Evident că lui x=2 îi corespunde t=0, iar lui x=0, t=2.
Relația se mai scrie $arctgx=arctg2-arctgt\Leftrightarrow arctgx=arctg\frac{2-t}{1+2t}\Leftrightarrow x=\frac{2-t}{1+2t}$
cu care calculăm $dx=\frac{-5}{(1+2t)^2}dt\;si\;(x+1)^2+1=\left ( \frac{2-t}{1+2t}+1 \right )^2+1=\frac{5(t^2+2t+2)}{(1+2t)^2}$ . Atunci
$I=\int_{2}^{0}(arctg2-arctgx)\cdot \frac{(1+2t)^2}{5(t^2+2t+2)}\cdot \frac{-5}{(1+2t)^2}dt=\\=(arctg2)\int_{0}^{2}\frac{dt}{(t+1)^2+1}-I\Rightarrow 2I=(arctg2)(arctg(t+1)|_0^2)\Rightarrow \\I=\frac{1}{2}(arctg2)(arctg3-arctg1)=\frac{1}{2}(arctg2)(arctg\frac{1}{2}).$

Mesaj de **ghioknt** » 19 Iun 2018, 22:44

$\int_{0}^{n}f(x)dx=\int_{0}^{\frac{1}{n}}f(x)dx+\int_{\frac{1}{n}}^{n}f(x)dx$ .
Pentru prima integrală, dacă înlocuiesc numărătorul cu cea mai mare, iar numitorul cu cea mai mică valoare a lor din interval, obțin: $0\leq \frac{arctgx}{x^2+x+1}<\frac{arctg\frac{1}{n}}{1}$ , apoi integrând:
$0<\int_{0}^{\frac{1}{n}}\frac{arctgx}{x^2+x+1}dx<\int_{0}^{\frac{1}{n}}arctg\frac{1}{n}dx=\frac{1}{n}arctg\frac{1}{n}$
Soarta acestei integrale e clară, tide la 0.
In a doua integrală propun schimbarea $x=\frac{1}{t},\;dx=\frac{-1}{t^2}dt$ :
$I_n=\int_{n}^{\frac{1}{n}}(arctg\frac{1}{t})\cdot \frac{t^2}{1+t+t^2}\cdot \frac{-1}{t^2}dt=\int_{\frac{1}{n}}^{n}\frac{\frac{\pi}{2}-arctgt}{t^2+t+1}dt=\\=\frac{\pi}{2}\int_{\frac{1}{n}}^{n}\frac{dt}{(t+\frac{1}{2})^2+(\frac{\sqrt{3}}{2})^2}-I_n\Rightarrow I_n=\frac{\pi}{4}\cdot \frac{2}{\sqrt{3}}arctg\frac{2t+1}{\sqrt{3}}|_{\frac{1}{n}}^n=\\=\frac{\pi}{2\sqrt{3}}(arctg\frac{2n+1}{\sqrt{3}}-arctg\frac{\frac{2}{n}+1}{\sqrt{3}})\;\to\;\frac{\pi}{2\sqrt{3}}(\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{6})=\frac{\pi^2}{6\sqrt{3}}$
Am folosit identitatea $arctg\frac{1}{t}=\frac{\pi}{2}-arctgt$ valabilă pe (0; oo).

grapefruit · Mesaj de **grapefruit** » 25 Feb 2020, 13:44

La problema cu arctangenta care a fost ideea din spate pentru aceasta schimbare de variabila..

Mesaj de **ghioknt** » 18 Mar 2020, 22:49

grapefruit scrie: ↑
25 Feb 2020, 13:44
La problema cu arctangenta care a fost ideea din spate pentru aceasta schimbare de variabila..

Nu mai știu de ce m-am gândit la această schimbare. Cred că am mai citit undeva fie această rezolvare, fie alta bazată pe două schimbări de variabilă succesive, si atunci eu le-am compus pentru mai mult efect artistic. Mă refer la prima dintre probleme.

Am și eu o nedumerire: de ce la postarea lui alexx04 eu nu văd nicio problemă? E vina mea, cumva?
De fapt două nedumeriri. ada2014 face trimitere la culegerea pentru admiterea la UPT. E un loc unde se găsește această culegere, pe care toată lumea îl știe, numai eu nu?

grapefruit · Mesaj de **grapefruit** » 21 Mar 2020, 21:12

Probabil ca este o carte cumparata de la politehnica timisoara si prezuma ca noi am detine acea culegere.
In alta ordine de idei la anul sper sa devin profesor de matematica si vreau sa absorb de la dvs toate trucurile si mai mult ideile care stau in spatele acestor scrieri pe care uneori le numiti comerciale. Credeti ca dupa ce trece aceasta criza putem chiar sa ne intalnim in Bucuresti, mi ar face o deosebita placere sa discut cu un adevarat profesor de la care am invatat foarte multe inca din 2013-2014 si poate imi dai si niste sfaturi in aceasta cariera ce va urma!

Mesaj de **ghioknt** » 22 Mar 2020, 12:27

Cu plăcere!

grapefruit · Mesaj de **grapefruit** » 23 Mar 2020, 16:36

Am si eu o intrebare referitor la a doua problema, de ce nu putem aplica acelasi rationament si pe intrrvalul 1/n n, adica sa inlocuim expresia cu cea mai mica valoare si cea mai mare;si inca ceva de ce ati despartit integrala de la 0 la n in 0.. 1/n...n

Mesaj de **ghioknt** » 23 Mar 2020, 23:06

Chiar dacă am putea calcula cele două valori, minimă și maximă, bănuiesc că cele două integrale nu ar avea aceeasi limită, deci criteriul cleștelui nu ar fi aplicabil.

Pe de altă parte, nici nu putem calcula integrala pe întregul interval [0; n] (sau eu nu pot). În schimb aceeasi integrală se lasă calculată pe intervalul [1/n; n], dar numai de către cei care știu să speculeze, ca pe un călcâi al lui Ahile, proprietățile funcției arctg, în timp ce prima integrală rămâne necalculabilă, dar tinde la 0, măcar din cauza intervalului a cărui lungime, 1/n, tinde la 0.

Forum AniDeȘcoală.ro

UTCN 639, 640

UTCN 639, 640

Re: UTCN 639, 640

Re: UTCN 639, 640

Problema 639

Problema UTCN 640

Re: UTCN 639, 640

Re: UTCN 639, 640

Re: UTCN 639, 640

Re: UTCN 639, 640

Re: UTCN 639, 640

Re: UTCN 639, 640