Limita unui sir
-
Emil Gheorghiu
- utilizator
- Mesaje: 11
- Membru din: 22 Aug 2017, 16:50
- Localitate: Timisoara
Limita unui sir
Să se calculeze limita: ^{n} \right \})
, unde {x} reprezintă partea fracționară a numarului x.
Re: Limita unui sir
Cu binomul lui Newton obținem că ^n=x_n+y_n\sqrt{3})
, unde 
sunt două numere întregi, de fapt, naturale. Dar atunci^n=x_n-y_n\sqrt{3})
,
unde și aici sunt aceleași două numere naturale.
Din relația^n=(2x_n-1)+(1-(2-\sqrt{3})^n))
deducem că ^n \right \}=1-(2-\sqrt{3})^n)
,
pentru că atât^n)
cât și ^n)
sunt numere din intervalul [0; 1).
Din același motiv limita puterii este 0, deci limita certă este 1.
sunt două numere întregi, de fapt, naturale. Dar atunci
unde și aici
Din relația
pentru că atât
Din același motiv limita puterii este 0, deci limita certă este 1.
Re: Limita unui sir
Rezolvarea mea este pe baza unui rationament asemanator cu al domnului profesor ghioknt.
^{n}=A+B\sqrt{3})
^{n}=A-B\sqrt{3})
............................................................
Adunand relatiile:
^{n}+\left ( 2-\sqrt{3} \right )^{n}=2A\in \mathbb{N}\Rightarrow \left ( 2+\sqrt{3} \right )^{n}=2A-\left ( 2-\sqrt{3} \right )^{n})
unde:
^{n}\in \left ( 0,1 \right ))
Rezulta ca:
^{n}\in \left ( 2A-1,2A \right )\Rightarrow \left [ \left ( 2+\sqrt{3} \right )^{n} \right ]=2A-1)
si cum
^{n} \right \}=\left ( 2+\sqrt{3} \right )^{n}-\left [ \left ( 2+\sqrt{3} \right )^{n} \right ]=\left ( 2+\sqrt{3} \right )^{n}-\left ( 2A-1 \right )=1-2A+\left ( 2+\sqrt{3} \right )^{n}=1-2A+2A-\left ( 2-\sqrt{3} \right )^{n}=1-\left ( 2-\sqrt{3} \right )^{n}\rightarrow 1-0=1)
deoarece
^{n}\rightarrow 0)
Prin urmare:
^{n} \right \}=1)
............................................................
Adunand relatiile:
unde:
Rezulta ca:
si cum
deoarece
Prin urmare:
-
grapefruit
- veteran
- Mesaje: 1051
- Membru din: 24 Iul 2013, 17:40
Re: Limita unui sir
Puteti fi mai explicit cum ati dedus relatia si cum ati ajuns la concluzia ca numere sunt din intervalul [0,1). Apreciez ca rezolvarea sare niste etape esentiale pentru intelegere, cel putin pentru mine.
Re: Limita unui sir
1. Dacă admiți că )
, atunci trebuie să admiți că și ^n\in [0;1))
pentru orice n, căci puterile unui număr subunitar sunt din ce în ce mai mici. Dar atunci și^n\in [0;1).)
2. Dacă pentru un număr real x găsim două numere m și f care îndeplinesc următoarele 3 condiții:
a)
b) ;)
c) x=m+f, atunci [x]=m și {x}=f.
Acum e mai clar?
pentru orice n, căci puterile unui număr subunitar sunt din ce în ce mai mici. Dar atunci și
2. Dacă pentru un număr real x găsim două numere m și f care îndeplinesc următoarele 3 condiții:
a)
Acum e mai clar?
-
grapefruit
- veteran
- Mesaje: 1051
- Membru din: 24 Iul 2013, 17:40
Re: Limita unui sir
Mult mai clar!
Sunt genul de om care optez pentru solutii explicite si clare... fara sincope si rationamente pentru unii triviale sarite...
Cu respect, grapefruit!
Sunt genul de om care optez pentru solutii explicite si clare... fara sincope si rationamente pentru unii triviale sarite...
Cu respect, grapefruit!