fractie irationala

Penguin200 · Mesaj de **Penguin200** » 04 Oct 2019, 22:22

Buna ziua.Am nevoie de niste ajutor la urmatoarele doua probleme.Nu am mai rezolvat exercitii de acest tip si as vrea sa aflu ceva metode de abordare, intrucat nu stiu de unde ar trebui sa pornesc.Cerinta este:Sa se demonstreze ca urmatoarele numere sunt irationale:
$\sqrt{2}+\sqrt[3]{3}$

$\frac{\sqrt{2}}{1+\sqrt[3]{2}}$

PhantomR · Mesaj de **PhantomR** » 05 Oct 2019, 04:47

O idee la prima:

Presupunem prin absurd ca $\sqrt{2}+\sqrt[3]{3}=q \in \mathbb{Q}$
$\sqrt[3]{3}=q-\sqrt{2}$
$3=(q-\sqrt{2})^3$
$3=q^3-3q^2\sqrt{2}+6q+2\sqrt{2}$
$3=q^3+6q+\sqrt{2}(2-3q^2)$
$\sqrt{2}(2-3q^2)=-(q^3+6q-3)$

Faptul ca $2-3q^2\neq 0$ se arata fie prin verificare, aratand ca membrul drept e nenul ,ceea ce e o contradictie. (pentru simplificarea
calculelor putem folosi: $q^3+6q-3=q(q^2+6)-3=q(\frac{2}{3}+6)-3$ , de unde putem finaliza calculand).
O alta modalitate e sa observam ca $3q^2=2$ implica $q=\pm\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ , care e numar irational (totusi, cred ca aceasta abordare nu e potrivita avand in vedere exercitiul in cauza, care are ca scop precis demonstratia ca un numar este irational).

Rezulta $\sqrt{2}=-\frac{q^3+6q-3}{2-3q^2}$ , care e rational, contradictie.

Si la al doilea exercitiu merge similar: $\frac{\sqrt{2}}{1+\sqrt[3]{2}}=y\in\mathbb{Q}$ se rescrie ca $\sqrt{2}=y+y\sqrt[3]{2}$ sau $y\sqrt[3]{2}=\sqrt{2}-y$ , care prin ridicare la puterea a treia conduce la ceva analog cu primul exercitiu.

Penguin200 · Mesaj de **Penguin200** » 05 Oct 2019, 19:29

Am inteles.Mii de multumiri

.

Forum AniDeȘcoală.ro

fractie irationala

fractie irationala

Re: fractie irationala

Re: fractie irationala