f_n:(0,00)->R,f_n (x)=x^n+ln x ,n din N.
Admitem ca ecuatia f_n (x)=2^n are solutia unica x_n.Aratati ca sirul x_n converge la 2.
Eu am incarcat urmatorul rationament, l-am observat in stilul de abordare a domnului profesor ghioknt,insa m-am blocat.
x_n=f^(-1) (2^n) ,iar din continuitatea functiei f^(-1) (00) iar aici raman blocat pentru ca de obicei era un numar finit.
de ce nu functionează
Re: de ce nu functionează
Relația corectă este )
, deci termenii șirului nu provin de la o singură funcție f așa cum scrii tu, ci fiecare este calculat cu ajutorul altei funcții.
Avem=1,\;f_n(x_n)=2^n\;si\;f_n(2)=2^n+ln2,\;deci\;f_n(1)<f_n(x_n)<f_n(2))
și cum funcțiile 
sunt crescătoare, deducem 
, șir mărginit.
Să considerăm și funcțiile=x^n-2^n+\ln x.)
Putem spune atunci că, pentru orice n, 
este soluția ecuației =0)
.
<g_n(x)\Leftrightarrow x^{n+1}-2^{n+1}<x^n-2^n\Leftrightarrow x^n(x-1)<2^n)
ultima inegalitate fiind evident adevărată pentru orice x din intervalul (1, 2), deci și pentru
Inegalitățile<g_n(x_n)=0,\;g_{n+1}(2)=\ln 2 >0)
ne spun că ecuația =0)
are o soluție, pe
în intervalul )
, adică șirul nostru este crescător.
\cdot n\alpha _n^{n-1}>(2-x_n)n,\;pentru \;ca\; 1<x_n<\alpha _n<2)
(am aplicat
teorema lui Lagrange pentru=t^n)
.
Avem
deci e clar ce limită are șirul nostru.
Avem
Să considerăm și funcțiile
ultima inegalitate fiind evident adevărată pentru orice x din intervalul (1, 2), deci și pentru
Inegalitățile
are o soluție, pe
teorema lui Lagrange pentru
Avem
-
grapefruit
- veteran
- Mesaje: 1051
- Membru din: 24 Iul 2013, 17:40
Re: de ce nu functionează
Daca functia nu ar depinde de n (familie de functii), atunci acest demers (al meu) este o metoda de abordare corecta?
Si am si o o intrebare legata de rezolvare, de unde provine inegalitatea g_(n+1) (x)<g_n (x)
Si am si o o intrebare legata de rezolvare, de unde provine inegalitatea g_(n+1) (x)<g_n (x)
Re: de ce nu functionează
Am spus de unde, Ea este echivalentă ( 
) cu ultima inegalitate care are loc pentru că x este
în (1, 2), deci mai mic decât 2, iar x-1, în (0, 1).
în (1, 2), deci mai mic decât 2, iar x-1, în (0, 1).
-
grapefruit
- veteran
- Mesaje: 1051
- Membru din: 24 Iul 2013, 17:40
Re: de ce nu functionează
Pai dar nu este deloc natural ceea ce imi spuneti, ati scris o inegalitate (din palarie) pe care dupa calcule se dovedeste a fi adevarata.Dupa parerea mea, natural este sa scriem o inegalitate care reiese dintr o interpretare a problemei ,sa zicem, o exploatam si ne folosim in final de rezultatul exploatat ;nu invers in care ne exploatam de inegalitate si despre care nu stim nimic apriori.Adica mi se pare ca practic stiu ce trebuie sa demonstrez si ma chinui sa potrivesc lucrurile si sa iasa ce vreau