Inductie

Semaka · Mesaj de **Semaka** » 25 Mai 2019, 16:11

1/(n+1)+1/(n+2)+...+1/(3n+1) >1 neN, n1

Mesaj de **ghioknt** » 02 Iun 2019, 12:10

Nu este nevoie de inducție. Șirul $x_n=\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+...+\frac{1}{3n+1}$ este crescător.
Inegalitatea $x_{n+1}-x_n>0\Leftrightarrow \frac{1}{3n+2}+\frac{1}{3n+3}+\frac{1}{3n+4}-\frac{1}{n+1}>0$
se poate demonstra, fie prin calcul direct, fie utilizând inegalitatea dintre media aritmetică și cea armonică pentru numerele 3n+2, 3n+3, 3n+4:
$3n+3>\frac{3}{\frac{1}{3n+2}+\frac{1}{3n+3}+\frac{1}{3n+4}}\Leftrightarrow \frac{1}{3n+2}+\frac{1}{3n+3}+\frac{1}{3n+4}>\frac{1}{n+1}$
Cum $a_1=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}>1$ , înseamnă că toți termenii șirului sunt >1.

Semaka · Mesaj de **Semaka** » 07 Iun 2019, 21:03

Va multumesc!

Forum AniDeȘcoală.ro

Inductie

Inductie

Re: Inductie

Re: Inductie