convergenta unui sir

[FaN.Anduu]

Am sirul x1 numar real
Trebuie sa gasesc valorile lui x1 astfel incat sirul sa fie convergent.
Am incercat in 2 metode.
Prima data am studiat monotonia si am gasit ca sirul este crescator.
Apoi am presupus ca sirul are limita si am notat limita cu l si am obtinut l=1.Deci daca are o limita, aceea este 1.
Acum m-am incurcat la cazuri.
Daca x1>1 sirul tinde la infinit, nu ?Deci nu este convergent.
Ce se intampla cu sirul cand x1<0 ? Dar cand e intre [0,1]?
Daca x1, primul termen este negativ, iar sirul este crescator, asta nu inseamna ca limita exista?Adica de la negativ (primul termen) el creste pana la limita 1.De ce nu e corect?Pentru ca in culegere spune ca pentru x1<0 sirul este divergent.
Cum arat ca pentru x1 din [0,1] sirul converge?

A doua metoda:

Am notat si
Am obtinut si
De unde se observa ca pentru x0 din [0,1] sirul converge la 1.
M-am luat dupa un model de sir pe care l-am rezolvat la clasa cu inductie.Doar ca la acel sir notasem cu .In cazul meu apare si un
E corect?

[ghioknt]

A doua metoda:

Am notat si

Primul rând arată că șirul este crescător. Al doilea rând este incoerent.
Șirul este dat printr-o recurență de forma dat, ,
funcție care ia valori în intervalul [3/4; oo).
Acum, dacă șirul este nemărginit, atunci limita sa este +oo, iar dacă este mărginit, atunci este convergent și limita sa este unul dintre punctele fixe ale funcției. Funcția are un singur punct fix, pe 1, deci dacă , șirul fiind crescător nu poate avea limita 1, deci nu e convergent.
Pentru a avea este necesar și suficient pentru că atunci toți ceilalți termeni vor fi în
[3/4; 1], adică se asigură mărginirea șirului.