limita

dtiwari · Mesaj de **dtiwari** » 21 Mai 2019, 11:33

$\lim_{x\rightarrow 0}\lfloor\frac{x^2}{\sin x\tan x}\rfloor$

where $\lfloor x \rfloor$ is floor of $x$

Mesaj de **ghioknt** » 22 Mai 2019, 21:10

Fie $f(x)=\frac{sinx}{\sqrt{cosx}}=sinx(cosx)^{-\frac{1}{2}},\;x\in [0;\frac{\pi }{2})$
Evident, O(0,0) aparține graficului acestei funcții.
Calculele ne dau $f'(x)=\frac{1}{2}\left [ (cosx)^{-\frac{3}{2}}+(cosx)^{\frac{1}{2}} \right ]$ , iar din f'(0)=1
deducem că dreapta de ecuație y=x este tangenta la graficul lui f în punctul O.
$f''(x)=\frac{1}{4}sinx(cosx)^{-\frac{5}{2}}(3-cos^2x)\geq 0 \;pentru\;x\in [0;\frac{\pi }{2})$ ,
dar egalitatea f''(x)=0 are loc doar în 0. Deducem că f este convexă pe intervalul $[0;\frac{\pi}{2})$ .
Dacă f este convexă pe un interval I, iar y=mx+n este ecuația unei tangente la grafic, într-un punct oarecare din I,
atunci $f(x)\geq mx+n$ pentru orice x din I, egalitatea având loc doar pentru punctul de tangență.
Atunci din $x\in (0;\frac{\pi }{2})\Rightarrow f(x)>x\Rightarrow sinxtgx>x^2\Rightarrow 0<\frac{x^2}{sinxtgx}<1\Rightarrow \\\Rightarrow \left \lfloor \frac{x^2}{sinxtgx} \right \rfloor=0$
Obs. Expresia $\frac{x^2}{sinxtgx}$ este pară, deaceea $\lim_{x\to 0}\left \lfloor \frac{x^2}{sinxtgx} \right \rfloor=\lim_{x\to 0\\x>0}\left \lfloor \frac{x^2}{sinxtgx} \right \rfloor=0$

grapefruit · Mesaj de **grapefruit** » 22 Mai 2019, 23:07

Imi puteti da un indiciu cum ati ales f(x) ?

Forum AniDeȘcoală.ro

limita

limita

Re: limita

Re: limita