Integrale si inegalitati

[Dragos V0d3]

a) Calculati aria subgraficului functiei f : [1, e] → R, f (x) = ln x
b) Daca a, b, c sunt numere reale oarecare din intervalul [1, e] astfel încât a ≤ b ≤ c,
atunci : (b − a) ln a + (c − a) ln b + (c − b) ln c < 2.

[A_Cristian]

a. Este un exemplu clasic de integrare prin parti. Te invit sa incerci singur sa vezi despre ce e vb.
b. membrul stang se poate scrie . Ne folosim de faptul ca f este concava. Atunci oricare ar fi x intre a si b si y intre b si c, avem ca si . Pe de alta parte, integrala definita calculata la punctul 1 se poate sparge in 4 integrale, dupa cum urmeaza [1,a] [a,b], [b,c], [c,e]. Si mai stim faptul ca daca f este continua atunci exista in c' , a<=c'<=b, astfel incat .

[grapefruit]

Ce propietate ai aplicat pt functiile concave?

[A_Cristian]

Ce propietate ai aplicat pt functiile concave?

Evident una inventata de mine . Multumesc de observatie.
Revin si sper sa fiu corecta daca mai scriu alte bazaconii.

Pentru orice functie continua si concava pe un interval [a,b] avem proprietatea: . Acum putem sa aplicam asta mai sus si obtinem inegalitatea dorita.