Ceva idei?
Problema de limite
Problema de limite
Avem de calculat limita cand x tinde la 0 din:
^{x}-1)/((x+e^{x})^{x}-1))
Ceva idei?
Ceva idei?
Re: Problema de limite
Aplicam 
}-1}{e^{xln\left ( x+e^{x} \right )}-1})
Aici aplicam limita remarcabila:
}-1}{u\left ( x \right )}=1,daca\lim_{x\rightarrow x_{0}}u\left ( x \right )=0)
si obtinem:
}{ln\left ( x+e^{x} \right )}=0)
unde am aplicat regula lui L'Hospital.
Aici aplicam limita remarcabila:
si obtinem:
Re: Problema de limite
@Felixx, multumesc pentru raspuns. Nu am facut inca regula lui L'Hospital sau derivari(imi imaginez ca primul rand are legatura cu derivarile). Problema este dintr-un concurs deci imi imaginez ca ar trebui sa existe o alta solutie. Multumesc oricum pentru ajutor.
Re: Problema de limite
Fara L'Hospital:
=lne^{-x}\left ( 1+xe^{x} \right )=-x+ln\left ( 1+xe^{x} \right ))
}{ln\left ( x+e^{x} \right )}=\frac{ln\left ( 1+xe^{x} \right )}{xe^{x}}\cdot \frac{xe^{x}}{ln\left ( x+e^{x} \right )}-\frac{x}{ln\left ( x+e^{x} \right )})
unde:
}=\frac{xe^{x}}{lne^{x}\left ( 1+\frac{x}{e^{x}} \right )}=\frac{xe^{x}}{x+ln\left ( 1+\frac{x}{e^{x}} \right )}=\frac{1}{\frac{1}{e^{x}}+\frac{ln\left ( 1+\frac{x}{e^{x}} \right )}{\frac{x}{e^{x}}}\frac{x}{e^{x}}\frac{1}{xe^{x}}})
si
}=\frac{x}{lne^{x}\left ( 1+\frac{x}{e^{x}} \right )}=\frac{1}{\frac{x}{x}+\frac{ln\left ( 1+\frac{x}{e^{x}} \right )}{x}}=\frac{1}{1+\frac{ln\left ( 1+\frac{x}{e^{x}} \right )}{\frac{x}{e^{x}}}\frac{x}{e^{x}}\frac{1}{x}})
Atunci aplicand limitele remarcabile cunoscute avem:
si
unde:
si
Atunci aplicand limitele remarcabile cunoscute avem:
si
Re: Problema de limite
Multumesc pentru raspuns!