Fie
Din relatia data rezulta ca
De asemenea, pot spune direct ca din Relatiile lui Viette ale lui
In caz ca am gresit, imi puteti da o alta indicatie de rezolvare?
Multumesc anticipat!
Matrice, polinom caracteristic
Matrice, polinom caracteristic
Buna! Am o problema la care nu stiu cum sa justific un lucru. Enunt:
Fie)
. Sa se determine tr(A) si det(A) daca det=0)
pentru 
.
Din relatia data rezulta ca
este valoare proprie pentru A, fiind o radacina a polinomului caracteristic, iar polinomul care indeplineste acest lucru este 
, dar nu stiu cum sa arat ca nu exista unul cu grad mai mic. Ajunge sa explic asta in cuvinte?
De asemenea, pot spune direct ca din Relatiile lui Viette ale lui
reiese ca tr(A)=0 si det(A)=^n\cdot3)
?
In caz ca am gresit, imi puteti da o alta indicatie de rezolvare?
Multumesc anticipat!
Fie
Din relatia data rezulta ca
De asemenea, pot spune direct ca din Relatiile lui Viette ale lui
In caz ca am gresit, imi puteti da o alta indicatie de rezolvare?
Multumesc anticipat!
Re: Matrice, polinom caracteristic
Nu ai greșit, rezultatele tale sunt corecte. Singura problemă este cum justifici că polinomul caracteristic al matricei A este 
Mă gândesc să pun cap la cap câteva lucruri mai mult sau mai puțin cunoscute despre polinoame minimale, polinoame ireductibile.
1. Definiție. Fie
un număr ne-rațional pentru care există un polinom nenul =0)
- un polinom anulator al lui .
În aceste condiții, polinoamele anulatoare de grad minim se vor numi polinoame minimale ale lui.
2. Observație. Dacă h este un polinom minimal, iar f un polinom anulator oarecare al lui, atunci h|f.
3. Observație. Un polinom anulator al lui este minimal dacă și numai dacă este ireductibil peste Q.
4. Observație. Polinomul minimal al lui, unitar, este unic.
5. Teoremă (Gauss). Dacă un polinom cu coeficienți întregi este ireductibil peste Z, atunci el este ireductibil și peste Q.
6. Observație. Conform criteriului lui Eisenstein, dacă p este un număr prim și a un întreg nedivizibil cu p, atunci polinomul
este ireductibil peste Z. În particular polinomul 
este ireductibil peste Z, deci Gauss zice că este ireductibil și peste Q. Cf. obs. 3, g este polinomul minimal, unitar al lui 
Pentru polinomul caracteristic al matricei A sunt adevărate următoarele afirmații:
are coeficienții raționali;=0;)
are gradul n ca și g; este unitar.
Cf. 4.
1. Definiție. Fie
În aceste condiții, polinoamele anulatoare de grad minim se vor numi polinoame minimale ale lui
2. Observație. Dacă h este un polinom minimal, iar f un polinom anulator oarecare al lui
3. Observație. Un polinom anulator al lui
4. Observație. Polinomul minimal al lui
5. Teoremă (Gauss). Dacă un polinom cu coeficienți întregi este ireductibil peste Z, atunci el este ireductibil și peste Q.
6. Observație. Conform criteriului lui Eisenstein, dacă p este un număr prim și a un întreg nedivizibil cu p, atunci polinomul
Pentru polinomul caracteristic
are coeficienții raționali;
Cf. 4.
Re: Matrice, polinom caracteristic
Multumesc foarte mult!