Matrice, polinom caracteristic

Matrice. Permutari. Determinanti. Sisteme de ecuatii. Siruri convergente. Limite de functii. Continuitate. Derivabilitate. Reprezentarea grafica a functiilor.
quaintej
utilizator
utilizator
Mesaje: 91
Membru din: 29 Noi 2015, 11:32

Matrice, polinom caracteristic

Mesaj de quaintej » 10 Feb 2019, 12:48

Buna! Am o problema la care nu stiu cum sa justific un lucru. Enunt:
Fie . Sa se determine tr(A) si det(A) daca det pentru .
Din relatia data rezulta ca este valoare proprie pentru A, fiind o radacina a polinomului caracteristic, iar polinomul care indeplineste acest lucru este , dar nu stiu cum sa arat ca nu exista unul cu grad mai mic. Ajunge sa explic asta in cuvinte?
De asemenea, pot spune direct ca din Relatiile lui Viette ale lui reiese ca tr(A)=0 si det(A)=?
In caz ca am gresit, imi puteti da o alta indicatie de rezolvare?
Multumesc anticipat!

ghioknt
profesor
profesor
Mesaje: 1531
Membru din: 09 Apr 2013, 14:56
Localitate: Bucuresti

Re: Matrice, polinom caracteristic

Mesaj de ghioknt » 15 Feb 2019, 23:54

Nu ai greșit, rezultatele tale sunt corecte. Singura problemă este cum justifici că polinomul caracteristic al matricei A este Mă gândesc să pun cap la cap câteva lucruri mai mult sau mai puțin cunoscute despre polinoame minimale, polinoame ireductibile.
1. Definiție. Fie un număr ne-rațional pentru care există un polinom nenul - un polinom anulator al lui .
În aceste condiții, polinoamele anulatoare de grad minim se vor numi polinoame minimale ale lui .
2. Observație. Dacă h este un polinom minimal, iar f un polinom anulator oarecare al lui , atunci h|f.
3. Observație. Un polinom anulator al lui este minimal dacă și numai dacă este ireductibil peste Q.
4. Observație. Polinomul minimal al lui , unitar, este unic.
5. Teoremă (Gauss). Dacă un polinom cu coeficienți întregi este ireductibil peste Z, atunci el este ireductibil și peste Q.

6. Observație. Conform criteriului lui Eisenstein, dacă p este un număr prim și a un întreg nedivizibil cu p, atunci polinomul este ireductibil peste Z. În particular polinomul este ireductibil peste Z, deci Gauss zice că este ireductibil și peste Q. Cf. obs. 3, g este polinomul minimal, unitar al lui

Pentru polinomul caracteristic al matricei A sunt adevărate următoarele afirmații:
are coeficienții raționali; are gradul n ca și g; este unitar.
Cf. 4.

quaintej
utilizator
utilizator
Mesaje: 91
Membru din: 29 Noi 2015, 11:32

Re: Matrice, polinom caracteristic

Mesaj de quaintej » 17 Feb 2019, 22:18

Multumesc foarte mult!

Scrie răspuns
  • Subiecte similare
    Răspunsuri
    Vizualizări
    Ultimul mesaj