Radacinile de ordinul n ale unui număr complex

AnaMaria2323 · Mesaj de **AnaMaria2323** » 30 Ian 2019, 19:16

Fie n număr natural nenul si εk ( e indice k) = cos (2kπ/n) + i*sin (2kπ/n). Atunci
a) εk* εm ( e indice m) aparține lui Un ( multimea u indice n ) , m număr natural
b) ε0*ε1*...*εn-1=(-1)^n+1
c) εκ conjugat= ε(n-k) ( ε indice n-k).
Macar o sugestie va rog

Integrator · Mesaj de **Integrator** » 01 Feb 2019, 08:48

AnaMaria2323 scrie: ↑
30 Ian 2019, 19:16
Fie n număr natural nenul si $\varepsilon _k=\cos(\frac{2k\pi}{n}) + i\cdot \sin(\frac{2k\pi}{n})$ . Atunci
a) $\varepsilon _k \cdot \varepsilon _m \in U_n$ , $m$ număr natural
b) $\varepsilon _0\cdot \varepsilon _1 \dots \varepsilon _{n-1}=(-1)^{n+1}$
c) $\overline \varepsilon _k=\varepsilon _{n-k}$ .
Macar o sugestie va rog

Bună dimineața,

Indicație:
$\varepsilon _k=\cos(\frac{2k\pi}{n}) + i\cdot \sin(\frac{2k\pi}{n})=e^{\frac{2i\pi k}{n}}$ și $e^{i\pi}=-1$ .
----------------------------
a) Cine este $U_n$ ?
b) Calculați valorile lui $\varepsilon _k$ pentru $k=0,1,2,...,n-2,n-1$ și faceți produsul puterilor $e^{\frac{2i\pi k}{n}}$ .
c) $\overline \varepsilon _k=\cos(\frac{2k\pi}{n}) - i\cdot \sin(\frac{2k\pi}{n})$ și $\varepsilon _{n-k}=\cos\bigg (\frac{2(n-k)\pi}{n}\bigg ) + i\cdot \sin\bigg (\frac{2 (n-k)\pi}{n}\bigg )$ iar pentru ca două numere complexe să fie egale este necesar ca părțile reale să fie egale între ele și respectiv părțile imaginare să fie egale între ele.Este foarte ușor de arătat că , $\cos(\frac{2k\pi}{n})=\cos\bigg (\frac{2(n-k)\pi}{n}\bigg )$ și respectiv $-\sin(\frac{2k\pi}{n})=\sin\bigg (\frac{2(n-k)\pi}{n}\bigg )$ .

Toate cele bune,

Integrator

Forum AniDeȘcoală.ro

Radacinile de ordinul n ale unui număr complex

Radacinile de ordinul n ale unui număr complex

Re: Radacinile de ordinul n ale unui număr complex