unghi diedru

[viperaza]

Fie patratul ABCD de latura 4a*radical(2) cm. Din A si C se duc perpendicularele pe planul patratului AN = 4a*radical(2) si CM = a*radical(2).
Sa se arate ca planele ( MBD ) si ( NBD ) nu sunt perpendiculare.

Nu am reusit sa o rezolv decat folosind trigonometrie mai avansata, m-ar bucura o rezolvare de clasa a 8-a.

[Felixx]

Poti sa ne arati si noua metoda cu trigonometrie "avansata "prin care ai rezolvat problema ?

[Felixx]

si cum NO-mediana, rezulta NO-inaltime , deci NO perpendicular pe BD,unde

Analog aratam ca MO perpendicular pe BD.
Presupunem ca (MBD) este perpendicular pe (NBD).
Din (MBD) perp. pe (NBD) si NO perp. BD unde
rezulta ca NO perp. pe (MBD) si cum rezulta
NO perpendicular pe MO
Atunci din
Fie ME perp. pe NA in trapezul dreptunghic NACM
ME=AC=8a

Din
Din
Din
Atunci relatia (*) devine :
,CONTRADICTIE

[viperaza]

(din teorema celor 3 perp)
Analog, .

Deci, unghiul diedru dintre MBD si NBD este MON.

In triunghiurile dreptunghice MOC si NOA, se gasesc:



Presupunand prin absurd ca MON e unghi drept, atunci MOC si NOA sunt complementare, deci (aici vine trigonometria "avansata"):

(contradictie)

[viperaza]

Multumesc de rezolvare!

[Felixx]

(din teorema celor 3 perp)
Analog, .

Deci, unghiul diedru dintre MBD si NBD este MON.

In triunghiurile dreptunghice MOC si NOA, se gasesc:



Presupunand prin absurd ca MON e unghi drept, atunci MOC si NOA sunt complementare, deci (aici vine trigonometria "avansata"):

(contradictie)

Soluție ingenioasă. Multumesc si eu.