Ecuatii exponentiale

Denn167 · Mesaj de **Denn167** » 26 Ian 2019, 19:31

Salut! Imi puteți explica vă rog cum se rezolvă un exercitiu de acest gen?

$\left(\sqrt{3^x}+\sqrt{5^x}\right)^2=64^x$

Integrator · Mesaj de **Integrator** » 27 Ian 2019, 08:29

Denn167 scrie: ↑
26 Ian 2019, 19:31
Salut! Imi puteți explica vă rog cum se rezolvă un exercitiu de acest gen?
$\left(\sqrt{3^x}+\sqrt{5^x}\right)^2=64^x$

Bună dimineața,

Fie $f(x)=(\sqrt{3^x}+\sqrt{5^x})^2$ și $g(x)=64^x$ .Deoarece $f(x)$ și $g(x)$ sunt funcții exponențiale pozitive , atunci rezultă că graficele lor se pot intersecta în cel mult un punct.Să căutăm un interval în care s-ar putea găsi acel punct de intersecție și fie funcția $h(x)=g(x)-f(x)=64^x-(\sqrt{3^x}+\sqrt{5^x})^2$ .Pentru $x=0$ obținem $h(0)=-3<0$ iar pentru $x=1$ obținem $h(1)=64-(\sqrt3-\sqrt5)^2=2(28-\sqrt{15})>0$ si asta înseamnă că soluția ecuației $(\sqrt{3^x}+\sqrt{5^x})^2=64^x$ este $x\in (0,1)$ .Deoarece $h(1)>>>h(0)$ , atunci verificăm ce semn are $h(\frac{1}{2})$ si observăm că $0<h(x)<\frac{1}{10}$ și asta îseamnă că soluția ecuației este foarte apropiată de valoarea $x=+\frac{1}{2}$ .
------------------------------------
Care este sursa problemei?

Toate cele bune,

Integrator

Denn167 · Mesaj de **Denn167** » 27 Ian 2019, 10:05

Bună dimineața!
Mulțumesc mult pentru rezolvare!
Exercitiul este dintr-o culegere de clasa a X-a, editura Valeriu.
Am totuși cateva nelămuriri.Cum v-ați dat seama că soluția este în intervalul (0;1) si $0< h (x) < \frac{1}{10}$
?

Integrator · Mesaj de **Integrator** » 27 Ian 2019, 18:03

Denn167 scrie: ↑
27 Ian 2019, 10:05
Bună dimineața!
Mulțumesc mult pentru rezolvare!
Exercitiul este dintr-o culegere de clasa a X-a, editura Valeriu.
Am totuși cateva nelămuriri.Cum v-ați dat seama că soluția este în intervalul (0;1) si $0< h (x) < \frac{1}{10}$ ?

Bună seara,

Așa cum am arătat , există cel mult o soluție a ecuației și folosind funcția $h(x)$ pentru a găsi valoarea lui $x$ pentru care $h(x)=0$ este necesar să găsim un interval $[a,b]$ cât mai mic în care $h(x)$ schmbă de semn și facem asta deoarece ecuația $h(x)=0$ este dificil de rezolvat altfel.Alegând intervalul $[-1,0]$ rezultă că $h(-1)<0$ și $h(0)<0$ ceea ce înseamnă că în intervalul $[-1,0]$ $h(x)\neq 0$ și deci trebuie căutat alt interval și așa cum am arătat am găsit intervalul $(0,1)$ .Văzând că valoarea $h(1)>>>h(0)$ am căutat să văd dacă nu cumva $h(x)$ schimbă de semn în intervalul $(0,\frac{1}{2}]$ și calculând $h(\frac{1}{2})$ am observat că $0<h(\frac{1}{2})<frac{1}{10}=0,1$ ceea ce înseamnă că soluția ecuației $h(x)=0$ și deci și soluția ecuației din problema propusă este foarte aproape de valoarea $x=\frac{1}{2}$ .Astfel de ecauții se rezolvă doar prin metode numerice iar metoda folosită de mine este metoda coardei care este o metodă de calcul a rădăcinii unei funcții precum ar fi în cazul acesta funcția $h(x)=g(x)-f(x)$ .
-------------------------------------------------
Citiți despre metoda coardei în https://ro.wikipedia.org/wiki/Metoda_coardei.
Citiți și https://ro.wikipedia.org/wiki/Metoda_%C ... tervalului
--------------------------------------------------
Ce metode numerice de rezolvare a unor ecuații ați învățat?Despre metoda tangentei ați învățat?Despre metoda secantei ați învățat?
Despre alte metode de rezolvare a ecuațiilor neliniare citiți http://iota.ee.tuiasi.ro/~mgavril/Metod ... tLuc8.html

Toate cele bune,

Integrator

Forum AniDeȘcoală.ro

Ecuatii exponentiale

Ecuatii exponentiale

Re: Ecuatii exponentiale

Re: Ecuatii exponentiale

Re: Ecuatii exponentiale