Integrale trigonometrice

DragosP · Mesaj de **DragosP** » 13 Ian 2019, 23:27

1. $\lim_{n->infinit}\int_{0}^{\pi/3 }\frac{sin^nx}{sin^nx+cos^nx}$ (Raspunsul este pi/12).
2. $f:\mathbb{R}->\mathbb{R}, f(x)=\frac{sin^{2n}x}{sin^{2n}x+cos^{2n}x}$
Functia f+c, c apartine R admite o primitiva perioadica daca si numai daca c este egal cu...(Raspunsul este -1/2)

Mesaj de **ghioknt** » 15 Ian 2019, 16:07

DragosP scrie: ↑
13 Ian 2019, 23:27
1. $\lim_{n->infinit}\int_{0}^{\pi/3 }\frac{sin^nx}{sin^nx+cos^nx}$ (Raspunsul este pi/12).
2. $f:\mathbb{R}->\mathbb{R}, f(x)=\frac{sin^{2n}x}{sin^{2n}x+cos^{2n}x}$
Functia f+c, c apartine R admite o primitiva perioadica daca si numai daca c este egal cu...(Raspunsul este -1/2)

$I_n=\int_{0}^{\pi/3 }\frac{sin^nx}{sin^nx+cos^nx}dx=\int_{0}^{\pi/4 }\frac{sin^nx}{sin^nx+cos^nx}dx=\int_{\frac{\pi}{4}}^{\pi/3 }\frac{sin^nx}{sin^nx+cos^nx}dx=I'_n+I_n''.$
$0<I'_n<\int_{0}^{\frac{\pi }{4}}tg^nxdx=\int_{0}^{1}\frac{t^n}{1+t^2}dt<\int_{0}^{1}t^ndt=\frac{1}{n+1}\to 0.$
$0<\frac{\pi }{12}-I_n''=\int_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{3}}dx-I_n''=\int_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{3}}\frac{cos^{n}x}{sin^nx+cos^nx}dx<\int_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{3}}ctg^nxdx=\\=\int_{\frac{1}{\sqrt{3}}}^{1}\frac{t^n}{1+t^2}dt<\int_{\frac{1}{\sqrt{3}}}^{1}t^ndt=\frac{1-\left ( \frac{1}{\sqrt{3}} \right )^n}{n+1}\to 0$
Primul șir are deci limita 0, al doilea are limita pi/12, iar șirul dat este suma lor.
La a doua problemă te rog să verifici enunțul. Tu vorbești de o funcție f, dar expresia ei depinde și de un parametru natural n. Acel c este unul și același pentru orice n sau depinde și el de n?

grapefruit · Mesaj de **grapefruit** » 17 Ian 2019, 22:30

Am si eu o intrebare... cum decidem cum spargem integrala... (adica capetele de integrare)

Mesaj de **ghioknt** » 19 Ian 2019, 21:47

@ grapefruit
În primul rând am avut în vedere că până la pi/4 avem sinx<cosx, deci (tgx)^n -> 0, iar de la pi/4 încolo avem cosx<sinx, deci (ctgx)^n -> 0 și bănuiam că o să folosesc asta, dar am renunțat. În al doilea rând, știind răspunsul, am observat că pi/12=pi/3-pi/4 și întotdeauna putem scrie că $b-a=\int_{a}^{b}dx.$
@ DragosP
M-am grăbit cu întrebările pe care le-am pus. Dacă mă uit mai atent la acele funcții, observ că toate au aceeași perioadă pi și aceleași valori extreme, 0 și 1, de aceea graficul oricăreia dintre ele trebuie "coborât" cu aceeași valoare 1/2, media celor două valori, pentru a obține primitive periodice. Așa că voi vorbi și eu tot de o singură funcție f, pentru că este mai comod.
Funcția g=f+c fiind periodică de perioadă minimă pi, voi admite că primitiva sa $G(x)=\int_{0}^{x}g(t)dt$
are aceeași perioadă pi.
$G(x)=G(x+\pi )\Leftrightarrow \int_{0}^{x}g(t)dt=\int_{0}^{x}g(t)dt+\int_{x}^{x+\pi }g(t)dt\Leftrightarrow \\\Leftrightarrow \int_{x}^{x+\pi }g(t)dt=0\Leftrightarrow \int_{0}^{\pi }g(t)dt=0$
Ultima egalitate trebuie să aibă loc pentru că dacă g:R -> R este periodică de perioadă T, atunci valoarea integralei
$\int_x^{x+T}g(t)dt$ nu depinde de x.
Dacă în $\int_{\frac{\pi }{2}}^{\pi }f(t)dt$ facem schimbarea $u=\pi-t$ : $\int_{\frac{\pi }{2}}^{\pi }f(t)dt=\int_0^{\frac{\pi}{2}}f(t)dt.$
Cu schimbarea $u=\frac{\pi}{2}-t$ se obține $I=\int_0^{\frac{\pi}{2}}f(t)dt=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{cos^{2n}t}{sin^{2n}t+cos^{2n}t}dt=J.$
$\int_0^{\pi}f(t)dt=2I=I+J=\int_0^{\frac{\pi}{2}}dt=\frac{\pi}{2}.$
$0=\int_0^{\pi}g(t)dt=\int_0^{\pi}f(t)dt+\int_0^{\pi}cdt=\frac{\pi}{2}+c\pi.$ De unde c=-1/2.

Forum AniDeȘcoală.ro

Integrale trigonometrice

Integrale trigonometrice

Re: Integrale trigonometrice

Re: Integrale trigonometrice

Re: Integrale trigonometrice