Limita suma

Penguin200 · Mesaj de **Penguin200** » 08 Ian 2019, 12:03

Sa se calculeze limita la infinit a urmatoarei sume
$\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{n+\sqrt{k(k+1)}}$

Mesaj de **ghioknt** » 09 Ian 2019, 19:52

Fie $f:[0;1]\to \mathbb{R},\;f(x)=\frac{1}{1+x};\;\Delta _n=\{0;\frac{1}{n};\frac{2}{n};...;\frac{n}{n}\},\;n\geq 1$
definește un șir de diviziuni $(\Delta _n)$ ale intervalului [0; 1] cu șirul normelor $||\Delta _n||=\frac{1}{n}$ cu limita 0.
Pentru orice k între 0 și n-1, numerele $\sqrt{\frac{k}{n}\cdot \frac{k+1}{n}}$ sunt incluse în intervalele $[\frac{k}{n};\frac{k+1}{n}]$ ,
deci pentru fiecare n ele formează un sistem de puncte intermediare asociat diviziunii $\Delta _n$ .
În concluzie $S_n=\frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1}\frac{1}{1+\sqrt{\frac{k}{n}\cdot \frac{k+1}{n}}}$ este un șir de sume Riemann
asociat funcției f și are limita $\int_{0}^{1}\frac{1}{1+x}dx$ .

Forum AniDeȘcoală.ro

Limita suma

Limita suma

Re: Limita suma