Vectori

[furfur]

Fie ABC un triunghi si ortocentrul H iar centrul cercului circumscris O. Notam X, Y, Z centrele cercurilor circumsrise triunghiurilor HBC, HAC, respectiv HAB. Demonstrati ca: AX + BY + CZ = OH. Aceste segmente sunt vectori. Multumesc!

[ghioknt]

Pentru a rezolva această problemă e bine să știi, sau să știi să demonstrezi, că cercurile circumscrise triunghiurilor HBC și ABC sunt simetrice față de dreapta BC, deci și X este simetricul lui O față de BC. Asta înseamnă că patrulaterul BOCX este un romb și, în consecință, are loc relația:
Atunci
Scrii relațiile analoage și pentru ceilalți 2 vectori, aduni :

[furfur]

Multumesc! Dar nu stiu sa demonstrez acea simetrie fata de BC. Acest lucru l-am incercat de cand am inceput problema. Ma puteti ajuta, va rog?

[ghioknt]

Fie A', B', C' picioarele înălțimilor, simetricele lui H față de BC, CA, AB. Voi mai presupune în continuare că unghiurile B și C sunt ascuțite. Din motive de simetrie avem
Din patrulaterul inscriptibil AB'HC' deducem că sunt suplementare, deci și
sunt suplementare, adică patrulaterul este inscriptibil.
O este (și) centrul cercului circumscris triunghiului X este centrul cercului circumscris triunghiului HBC, cele două triunghiuri sunt simetrice față de BC, deci și O și X sunt simetrice față de BC.
Dacă și A este ascuțit, atunci la fel se demonstrează și despre Y și Z că sunt simetricele lui O față de CA, AB.
Dacă A este obtuz, deci A este între B și C', între C și B', dar și între H și A', demonstrația faptului că se
află pe cercul circumscris triunghiului ABC suferă unele modificări.
pentru ca este simetricul lui H față de AC.
din patrulaterul inscriptibil AB'HC'.
din patrulaterul inscriptibil BCC'B'.
În concluzie, arată că și patrulaterul este inscriptibil
(unghiuri formate de diagonale cu o pereche de laturi opuse).