Sa se demonstreze ca
Matrice in modulo 5
-
incroyable
- utilizator
- Mesaje: 32
- Membru din: 06 Oct 2015, 19:13
Matrice in modulo 5
Pentru fiecare 
se considera matricea \in M_{2}(\mathbb{Z}_{5}), A(a)=\begin{pmatrix} a & \hat2\\ \hat2 & a \end{pmatrix})
Sa se demonstreze ca)^{5}=A(a))
Sa se demonstreze ca
Re: Matrice in modulo 5
În definitiv sunt numai 5 matrici pentru care poți costata prin calcul că fiecare dintre ele verifică relația cu pricina.
Dacă vrei să fii mai sofisticat, să faci o demonstrație care să fie valabilă pentru orice corp
poți constata că relația Cayley pentru A(a) este)^2-2aA(a)+(a^2-\widehat{4})I_2=O_2)
care se transformă în relația de recurență )^{n+1}-2a(A(a))^n+(a^2-\widehat{4})A^{n-1}=O_2)
.
La fel ca în cazul matricelor cu elemente în corpul
, pentru că ecuația caracteristică
=0)
are rădăcinile 
, deducem că
există două matrici B și C a. î.
pentru orice n natural.
Avem atunci
pentru că în corpul 
cu 5 elemente
avem
pentru orice x.
Dacă vrei să fii mai sofisticat, să faci o demonstrație care să fie valabilă pentru orice corp
poți constata că relația Cayley pentru A(a) este
La fel ca în cazul matricelor cu elemente în corpul
există două matrici B și C a. î.
Avem atunci
avem
-
incroyable
- utilizator
- Mesaje: 32
- Membru din: 06 Oct 2015, 19:13
Re: Matrice in modulo 5
Ati putea va rog sa imi explicati de ce cele doua radacini atesta, mai exact, afirmatia cautata? In plus, matricele B si C trebuie sa aiba o forma anume?
Practic nu am mai inteles rezolvarea din momentul introducerii celor doua matrici si pana la final.
am inteles si este clar, insa restul nu.
Practic nu am mai inteles rezolvarea din momentul introducerii celor doua matrici si pana la final.
Re: Matrice in modulo 5
Sper că ai înțeles că cele notate de mine cu 
sunt rădăcinile ecuației caracteristice, deci că au loc:
\;pt.\;i=1,2.)
Consider propozițiile:\;A^n=r_1^nB+r_2^nB,\;n\in \mathbb{N})
și determin B și C a. î. P(0) și P(1)
să fie adevărate, adică:
. Rezolv acest sistem prin metoda reducerii, de exemplu și obțin
B=-\widehat{4}B=B\;(pt.\;ca\;-\widehat{4}=\widehat{1})\\A-r_1I_2=(r_2-r_1)C=\widehat{4}C=-C,\;C=r_1I_2-A=...)
E important că B și C există și mai puțin important cum arată ele în final. Să demonstrăm acum P(n) prin inducție.
Să presupunem că P(n-1) și P(n) sunt adevărate și să folosim relația de recurență.
A^{n-1}=2a(r_1^nB+r_2^nC)-(a^2-\widehat{4})(r_1^{n-1}B+r_2^{n-1}C)=\\=r_1^{n-1}(2ar_1-(a^2-\widehat{4}))B+r_2^{n-1}(2ar_2-(a^2-\widehat{4}))C=r_1^{n-1}r_1^2B+r_2^{n-1}r_2^2C=\\=r_1^{n+1}B+r_2^{n+1}C.)
Deci P(n+1) este adevărată dacă P(n-1) și P(n) sunt adevărate; dar P(0) și P(1) sunt adevărate pentru că așa au fost determinate B și C. Conform principiului inducției, propozițiile P(n) sunt adevărate pentru orice n natural, iar punctul de pornire a demonstrației a fost tocmai existența în a celor 2 rădăcini ale ecuației caracteristice. Eu am presupus că tehnica asta este cunoscută multor elevi, de la matricile cu elemente într-un corp numeric.
Consider propozițiile
să fie adevărate, adică:
E important că B și C există și mai puțin important cum arată ele în final. Să demonstrăm acum P(n) prin inducție.
Să presupunem că P(n-1) și P(n) sunt adevărate și să folosim relația de recurență.
Deci P(n+1) este adevărată dacă P(n-1) și P(n) sunt adevărate; dar P(0) și P(1) sunt adevărate pentru că așa au fost determinate B și C. Conform principiului inducției, propozițiile P(n) sunt adevărate pentru orice n natural, iar punctul de pornire a demonstrației a fost tocmai existența în
-
incroyable
- utilizator
- Mesaje: 32
- Membru din: 06 Oct 2015, 19:13
Re: Matrice in modulo 5
Am inteles intocmai acum, probabil o sa ni se predea la scoala, momentan nu am facut, eu am vrut sa lucrez inainte si sa fac mai multe exercitii.
Important este ca am inteles modul de lucru si va multumesc frumos pentru timpul acordat.
Important este ca am inteles modul de lucru si va multumesc frumos pentru timpul acordat.