Inele
-
MariusDanFlorescu
- utilizator
- Mesaje: 6
- Membru din: 29 Noi 2018, 18:01
Inele
Buna ziua! Ma puteti ajuta, va rog, la exercitiile A3, A5 si A6? Multumesc anticipat!
Re: Inele
A4. a) Relația din ipoteză, valabilă pentru orice element, se aplică elementului x+x și se studiază consecințele:
(x+x)=x+x\Rightarrow x^2+x^2+x^2+x^2=x+x\Rightarrow x+x+x+x=x+x\\ \Rightarrow x+x=0)
.
După cum observi, am folosit distributivitatea, relația din ipoteză și regula reducerii termenilor în grupul (A, +) (care este același lucru cu regula simplificării într-un grup în notație multiplicativă).
b). Nu avem ce demonstra; dacă ipoteza este valabilă pentru orice x, ea este aplicabilă și lui x+y.
c). Să observăm mai întâi că x+x=0 se mai scrie x=-x, deci în acest inel orice element se poate înlocui la nevoie cu opusul său. Apoi, din relația de la b), deducem:
(x+y)=x+y\Rightarrow x^2+xy+yx+y^2=x+y\Rightarrow xy+yx=0)
,
care se mai scrie yx=-xy sau, cu observația de mai sus, yx=xy.
După cum observi, am folosit distributivitatea, relația din ipoteză și regula reducerii termenilor în grupul (A, +) (care este același lucru cu regula simplificării într-un grup în notație multiplicativă).
b). Nu avem ce demonstra; dacă ipoteza este valabilă pentru orice x, ea este aplicabilă și lui x+y.
c). Să observăm mai întâi că x+x=0 se mai scrie x=-x, deci în acest inel orice element se poate înlocui la nevoie cu opusul său. Apoi, din relația de la b), deducem:
care se mai scrie yx=-xy sau, cu observația de mai sus, yx=xy.
Re: Inele
A5. Această problemă este și mai simplă decât A4. Este suficient să verifici că
(1+a+a^2+...+a^{n-1})=1-a^n=1)
.
Evident, cele două paranteze comută între ele pentru că oricare două puteri ale unui element comută între ele.
Cu asta am demonstrat două lucruri: că 1-a este inversabil și că^{-1}=1+a+a^2+...+a^{n-1}.)
Evident, cele două paranteze comută între ele pentru că oricare două puteri ale unui element comută între ele.
Cu asta am demonstrat două lucruri: că 1-a este inversabil și că
Re: Inele
A6. Afirmația din ipoteză, că 
este inversul lui 1-ab înseamnă, conform definiției, că
=1,\;(1-ab)x^{-1}=1)
, adică 
sau încă:
.
Exact aceste relații le vom folosi la momentul oportun în următoarele calcule.
(1+bx^{-1}a)=1+bx^{-1}a-ba-babx^{-1}a=1+bx^{-1}a-ba-b(x^{-1}-1)a=\\=1+bx^{-1}a-ba-bx^{-1}a+ba=1;)
(1-ba)=1+bx^{-1}a-ba-bx^{-1}aba=1+bx^{-1}a-ba-b(x^-1}-1)a=\\=1+bx^{-1}a-ba-bx^{-1}a+ba=1)
.
Aceste rezultate dovedesc tocmai că 1-ba este element inversabil și că inversul său este
.
sau încă:
Exact aceste relații le vom folosi la momentul oportun în următoarele calcule.
Aceste rezultate dovedesc tocmai că 1-ba este element inversabil și că inversul său este
-
MariusDanFlorescu
- utilizator
- Mesaje: 6
- Membru din: 29 Noi 2018, 18:01
Re: Inele
Va multumesc din suflet pentru ajutorul acordat!