nelamurire determinat si inmultire (clase de resturi)

[FaN.Anduu]

Salut!


a)Dati exemplu de o matrice nenula, din multimea A, cu determinantul nul.
M-am gandit la
Dar nu sunt sigur de raspuns pentru ca am o nelamurire la calculele cu clase de resturi.
Determinantul e
1*1 in Z3 =1
2*(-2) in Z3 este egal cu 4 sau cu 1? Stiu ca atunci cand inmultim 2 numere cu semn schimbat se inmultesc normal si la rezultat se schimba semnul.La acest rezultat cu semn schimbat trebuie sa mai aplicam regula cu restul impartirii (sau scaderi repetate) adica sa fie 4-3=1 ? (in Z3)
Multumesc!

[FaN.Anduu]

b) Aratati ca exista o matrice nenula M apartine lui A a.i.
Am notat M = ( a b ) si am facut inmultirile si mi-a dat un sistem de 4 ecuatii:
-b a
2a-1b=0
2b+1a=0
-1a-2b=0
-1b+2a=0
a,b sunt din Z3 si prin incercari am gasit a=1 si b=2 astfel incat ecuatiile sa dea 0, deci exista o matrice M care indeplineste conditia.
Ar mai fi si a=2 si b=1 care la fel indeplineste conditia.
Cum se poate rezolva acest subpunct mai elegant ?

c) Rezolvati ecuatia
Ma gandesc sa iau o matrice X = (a b, c d) si sa fac sistem dar nu cred c-o sa-mi iasa ceva.
Ma puteti ajuta?

[Felixx]

c)
Fie:
Atunci trecand la determinanti :
det(X^2)=detA
unde

si cum

Concluzie:..........................