Valoare maxima expresie

aronpetrov · Mesaj de **aronpetrov** » 27 Noi 2018, 23:27

Se considera expresia: $E(x,y)=x^2+y^2-6x-10y$
Se considera multimea:
$D=\left \{ (x,y)\epsilon \mathbb{R}^2/x^2+y^2-2y\leq 0 \right \}$
Valoarea maxima a lui E(x,y), pentru x,y apartin D este...
A.8
B.0
C.4
D.6
E.2

A_Cristian · Mesaj de **A_Cristian** » 28 Noi 2018, 10:14

Avem $x^2+y^2-2y \le 0 \Rightarrow x^2+y^2-2y +1 \le 1 \Rightarrow x^2+(y-1)^2 \le 1$ . Cu alte cuvinte, D este discul de centru (0,1) si raza 1.
Putem nota x=r*sint si y-1=r cost, unde r este distanta de la (x,y-1) la (0,1).
Maximul cautat devine $x^2+y^2-6x-10y = r^2\sin^2t+r^2\cos^2t-6r\sin{t}-8r\cos{t}-7$ . Mai departe te las pe tine sa gasesti acel maxim.

PS: Daca-mi aduc bine aminte, a mai fost acest exercitiu pe acest forum.

Integrator · Mesaj de **Integrator** » 29 Noi 2018, 09:06

aronpetrov scrie: ↑
27 Noi 2018, 23:27
Se considera expresia: $E(x,y)=x^2+y^2-6x-10y$
Se considera multimea:
$D=\left \{ (x,y)\epsilon \mathbb{R}^2/x^2+y^2-2y\leq 0 \right \}$
Valoarea maxima a lui E(x,y), pentru x,y apartin D este...
A.8
B.0
C.4
D.6
E.2

Bună dimineața,

Ce înseamnă semnul "/" din " $D=\left \{ (x,y)\epsilon \mathbb{R}^2/x^2+y^2-2y\leq 0 \right \}$ "?Dacă este vorba despre semnul "|" și deci este vorba despre $D=\left \{ (x,y)\in \mathbb{R}^2|x^2+y^2-2y\leq 0 \right \}$ , atunci din $x^2+y^2-2y\leq 0$ rezultă $1-\sqrt{1-x^2} \leq y\leq 1+\sqrt{1-x^2}$ cu $x\in \[ -1,+1\]$ și deci $y\in \[ 0,+2\]$ .

Dacă $x\in \[ -1,+1\]$ și $y\in \[ 0,+2\]$ , atunci care ar putea fi valoarea maximă a expresiei $E(x,y)=x^2+y^2-6x-10y$ ?Răspunsul corect este $E_{max}(x,y)=x^2+y^2-6x-10y=E(0,0)=0$ .

Toate cele bune,

Integrator

A_Cristian · Mesaj de **A_Cristian** » 29 Noi 2018, 11:58

Oare cat face $E(-\frac{3}{5},\frac{1}{5})$ ?

Integrator · Mesaj de **Integrator** » 30 Noi 2018, 08:03

aronpetrov scrie: ↑
27 Noi 2018, 23:27
Se considera expresia: $E(x,y)=x^2+y^2-6x-10y$
Se considera multimea:
$D=\left \{ (x,y)\epsilon \mathbb{R}^2/x^2+y^2-2y\leq 0 \right \}$
Valoarea maxima a lui E(x,y), pentru x,y apartin D este...
A.8
B.0
C.4
D.6
E.2

Bună dimineața,

Mii de scuze!

Rectific:
Ce înseamnă semnul "/" din " $D=\left \{ (x,y)\epsilon \mathbb{R}^2/x^2+y^2-2y\leq 0 \right \}$ "?Dacă este vorba despre semnul "|" și deci este vorba despre $D=\left \{ (x,y)\in \mathbb{R}^2|x^2+y^2-2y\leq 0 \right \}$ , atunci din $x^2+y^2-2y\leq 0$ rezultă $1-\sqrt{1-x^2} \leq y\leq 1+\sqrt{1-x^2}$ cu $x\in \[ -1,+1\]$ și deci $y\in \[ 0,+2\]$ .

Problema asta nu cred că poate fi pentru clasa IX-a....

Toate cele bune,

Integrator

Integrator · Mesaj de **Integrator** » 30 Noi 2018, 08:20

A_Cristian scrie: ↑
29 Noi 2018, 11:58
Oare cat face $E(-\frac{3}{5},\frac{1}{5})$ ?

Bună dimineața,

Mulțumesc mult pentru intervenție!În conformitate cu raționamentul Dvs. inițial cum ajungem la $E_{max}=2$ cu cunoștințe corespunzătoare clasei a IX-a?

Mulțumesc mult!Cum putem raționa la nivel de clasa a IX-a , scriind acea expresie sub forma $E(x,y)=(x-3)^2+(y-5)^2-34$ condiționat de $x^2+(y-1)^2\leq 1$ ?

Toate cele bune,

Integrator

A_Cristian · Mesaj de **A_Cristian** » 30 Noi 2018, 10:05

Se face trigonometrie in clasa a 9-a. Am respectat intocmai programa scolara.

PS: In solutia propusa de mine s-a strecurat o greseala de calcul elementar, dar asta nu modifica rationamentul si nici gasirea punctului de maxim.

Integrator · Mesaj de **Integrator** » 30 Noi 2018, 17:43

A_Cristian scrie: ↑
30 Noi 2018, 10:05
Se face trigonometrie in clasa a 9-a. Am respectat intocmai programa scolara.

PS: In solutia propusa de mine s-a strecurat o greseala de calcul elementar, dar asta nu modifica rationamentul si nici gasirea punctului de maxim.

Bună seara,

Se face trigonometrie , dar nu cu funcții de două variabile și nici probleme de maxim de funcții de două variabile cu domeniu impus....M-am uitat printr-un manual de clasa IX-a trunchi comun de profesorii Marius Burtea și Georgeta Burtea , dar nu găsesc teoria privind funcțiile de două variabile.În ce manual de clasa a IX-a ați găsit ceva privind funcțiile de două variabile?
Este clar că $E_{max}=2$ , dar la nivel de clasa a IX-a nu știu cum să ajung la acest rezultat...Nu neg raționamentul Dvs. , dar aș vrea să detaliați acest raționament sau să dați măcar câțiva pași care să ducă la valorile lui $x$ si $y$ pentru care expresia aceea este maximă.Mulțumesc foarte mult!

Toate cele bune,

Integrator

Semaka · Mesaj de **Semaka** » 30 Noi 2018, 19:00

Inrtr-adevar in clasa lX nu se fac functii de 2 variabile.

A_Cristian · Mesaj de **A_Cristian** » 30 Noi 2018, 21:34

Rectificand greseala de calcul, se ajunge la a calcula maximul expresiei
$x^2+y^2-6x-10y = r^2\sin^2t+r^2\cos^2t-6r\sin{t}-8r\cos{t}-9$ , unde $r\in \left[0,1\right]$ si $t \in \left[0,2\pi\right]$ .
$r^2\sin^2t+r^2\cos^2t-6r\sin{t}-8r\cos{t}=r^2-10r(\frac{6}{10}\sin t + \frac{8}{10}\cos t)$ . Cazul ideal de maxim al unei expresii este atunci cand toti membrii ei isi ating maximul in acelasi timp. Pentru noi ar fi r=1 si $\frac{6}{10}\sin t + \frac{8}{10}\cos t$ minim. $\frac{6}{10}\sin t + \frac{8}{10}\cos t = \sin(t)\cdot\arccos(\frac{3}{5})+\cos(t)\cdot\arcsin(\frac{4}{5})=\sin(t+\arccos(\frac{3}{5}))$ . (Am tinut cont de faptul ca $\arcsin(x)=\arccos{\sqrt{1-x^2}$ .)
Min $\sin(t+\arccos(\frac{3}{5}))$ =-1. De aici rezulta atat valoarea expresiei initiale cat si punctul in care are loc.

S-a mai discutat pe forum cum se gaseste maximul expresiei $a\cdot\sin(x)+b\cdot\cos(x)$ . Am aplicat in mod direct metoda mai sus, fara sa intru in detalii.

PS: Nu cred ca este o problema de clasa. As considera-o o problema de nivel olimpiada municipala (daca nu chiar judeteana).
PPS: Poate reusesc sa gasesc linkul la solutiile anterioare. Sunt convins (fara sa am probe) ca a fost postata pe forum.

Mesaj de **ghioknt** » 30 Noi 2018, 22:22

Integrator scrie: ↑
30 Noi 2018, 08:20
Cum putem raționa la nivel de clasa a IX-a , scriind acea expresie sub forma $E(x,y)=(x-3)^2+(y-5)^2-34$ condiționat de $x^2+(y-1)^2\leq 1$ ?

Consider punctele M(x, y), A(3, 5), B(0, 1), cercul C(B; 1) de ecuație $x^2+(y-1)^2=1$ și discul respectiv
[C(B; 1)] corespunzător condiției $x^2+(y-1)^2\leq 1$ .
A afla valorile extreme ale expresiei $E(x,y)=(x-3)^2+(y-5)^2-34$ condiționate de $x^2+(y-1)^2\leq 1$
se poate citi: să se afle valorile extreme ale expresiei $E(M)=MA^2-34\;pentru \;M\in [C(B; 1)]$ .
Aceste valori extreme se obțin dacă înlocuim pe M cu cel mai depărtat, respectiv, cel mai apropiat de A dintre punctele discului. Acestea sunt punctele P și Q pe care le obținem dacă intersectăm cercul C(B; 1) cu dreapta AB.
Dar atunci PA=AB+BP=5+1=6 si QA=AB-BQ=5-1=4; valoarea maximă va fi $E(P)=PA^2-34=36-34=2$ , iar cea minimă va fi $E(Q)=QA^2-34=16-34=-18$ .
Cine știe să rezolve un sistem format dintr-o ecuație de gradul 1, a dreptei AB și una de gradul 2, a cercului, poate afla și coordonatele celor două puncte $P(-\frac{3}{5},\frac{1}{5}),\;Q(\frac{3}{5},\frac{9}{5})$ .

Integrator · Mesaj de **Integrator** » 01 Dec 2018, 09:53

aronpetrov scrie: ↑
27 Noi 2018, 23:27
Se considera expresia: $E(x,y)=x^2+y^2-6x-10y$
Se considera multimea:
$D=\left \{ (x,y)\epsilon \mathbb{R}^2/x^2+y^2-2y\leq 0 \right \}$
Valoarea maxima a lui E(x,y), pentru x,y apartin D este...
A.8
B.0
C.4
D.6
E.2

Bună dimineața,

O rezolvare la nivel de clasa a IX-a:
Inecuația $x^2+y^2-2y\leq 0$ este echivalentă cu ecuația $x^2+y^2-2y=-a^2$ unde $a^2\in \mathbb R$ ceea ce înseamnă că $E(x,y)=x^2+y^2-6x-10y=-a^2-6x-8y$ .Fie $-a^2-6x-8y=M$ valoarea maximă a lui $E(x,y)$ , atunci rezulta că trebuie obligatoriu ca $a=0$ și deci în final avem de rezolvat sistemul de ecuații:
$x^2+(y-1)^2=1$
$-6x-8y=-M$
Rezolvarea acestui sistem conduce la rezolvarea ecuației de gradul II în $x$ având soluțiile $x=\frac{-3M-24\mp 4\sqrt{-M^2-16M+36}}{50}$ de unde rezultă că $M^2+16M-36\leq 0$ și deci $-18\leq M\leq 2$ .Din $-18\leq M\leq 2$ și ținând cont și de condițiile de existență ale variabilelor $x$ și $y$ rezultă că $E_{max}(x,y)=M=2$ .Înlocuind în sistemul de mai sus pe $M=2$ rezultă $x=-\frac{3}{5}$ și $y=\frac{1}{5}$ .

Toate cele bune,

Integrator

Forum AniDeȘcoală.ro

Valoare maxima expresie

Valoare maxima expresie

Re: Valoare maxima expresie

Re: Valoare maxima expresie

Re: Valoare maxima expresie

Re: Valoare maxima expresie

Re: Valoare maxima expresie

Re: Valoare maxima expresie

Re: Valoare maxima expresie

Re: Valoare maxima expresie

Re: Valoare maxima expresie

Re: Valoare maxima expresie

Re: Valoare maxima expresie