Siruri recurente-utcn

Penguin200 · Mesaj de **Penguin200** » 23 Noi 2018, 07:02

Bună dimineața!
Se considera sirul (xn), definit prin:
$x_{n+1}-ax_{n}+2=0, x_{0}=a.$
1.Multimea valorilor parametrului a pentru care sirul (xn) este strict descrescator este:
A.Multimea vida
B.(-1,2)
C.(-1,1)
D.(0,inf)
E.(0,2)

2.Pentru $a\epsilon (-1,1)$ , limita sirului este:
A. $\frac{2}{a+1}$
B. $\frac{2}{a-1}$
C.0
D.1
E.nu exista

Chiar daca o problema extrasa din teste grila, as aprecia enorm o solutie mai detaliată(adică nu prin eliminarea răspunsurilor), întrucât vreau să înțeleg cât mai bine problemele cu șiruri.
Mulțumesc!

Mesaj de **ghioknt** » 24 Noi 2018, 21:51

Cred că, la examen, este bine să știi (sau să știi să demonstrezi) că termenul general al unui șir definit prin $x_0$
și prin recurența $x_{n+1}=ax_n+b$ are una dintre expresiile $x_n=x_0a^n+b(a^{n-1}+a^{n-2}+...+a+1)$
sau $x_n=x_0a^n+b\frac{a^n-1}{a-1}\;pt\;a\neq 1$ . Pentru această problemă unde $x_0=a,\;b=-2$ :
$x_n=a^{n+1}-2(a^{n-1}+a^{n-2}+...+a+1)=a^{n+1}-\frac{2(a^n-1)}{a-1}.$
1. Șirul este strict desrescător dacă și numai dacă
$x_{n+1}-x_n<0\;\forall n\Leftrightarrow a^n(a^2-a-2)<0\;\forall n\Leftrightarrow a>0\;si\;a^2-a-2<0$
Răspuns: E.
2.Folosind a doua expresie și ținând cont că petru a în intervalul (-1; 1) $a^n\to 0$ , limita șirului este cea de la B.

Felixx · Mesaj de **Felixx** » 25 Noi 2018, 01:52

Forma generala a unui sir recurent liniar de ordinul intai cu coeficienti constanti este:
$x_{n+1}=ax_{n}+b,x_{0}fixat$
O metoda de determinare a solutiei $x_{n}$ este folosind metoda iterarii directe:
n=0 rezulta $x_{1}=ax_{0}+b$
n=1 rezulta $x_{2}=ax_{1}+b$
......................................................
$n\rightarrow n-2$ rezulta $x_{n-1}=ax_{n-2}+b$
$n\rightarrow n-1$ rezulta $x_{n}=ax_{n-1}+b$

Apoi inmultind prima relatie cu $a^{n-1}$ ,a doua cu $a^{n-2}$ ....penultima cu $a^{1}$ obtinem :

$a^{n-1}x_{1}=a^{n}x_{0}+a^{n-1}b$
$a^{n-2}x_{1}=a^{n-1}x_{1}+a^{n-2}b$
........................................................
$ax_{n-1}=a^{2}x_{n-2}+a^{1}b$
$x_{n}=ax_{n-1}+b$
Adunand relatiile membru cu membru obtinem:
$x_{n}=a^{n}x_{0}+b\left ( a^{n-1}+a^{n-2}+...+a+1 \right )$
Obs.Acum poti sa nu mai memorezi solutia si sa o deduci in cazul ca o uiti.Este de fapt ceea ce iti cerea domnul profesor ghioknt.

Forum AniDeȘcoală.ro

Siruri recurente-utcn

Siruri recurente-utcn

Re: Siruri recurente-utcn

Re: Siruri recurente-utcn