1). Șirul
este de forma
,\;deci\;\frac{a_{n+1}}{a_n}=q\frac{u+vr^{n+1}}{u+vr^n}.)
Așadar
)
are limita
, căci
este în (-1; 1) și
2).Ideea poate fi următoarea. Dacă un șir este dat prin
)
, unde h este o funcție crescătoare pe un interval la care aparțin toți termenii șirului, atunci, dacă
șirul va fi crescător, iar dacă
șirul va fi descrescător. În plus, dacă h este continuă, iar șirul se dovedește convergent, atunci limita sa trebuie să fie unul dintre punctele fixe ale funcției, adică un număr L dat de relația h(L)=L.
Pentru
functia
\to (3;\infty),\;f(x)=3+\frac{2}{x})
este continuă, dar strict descrescătoare și are punctul fix
Avem însă
)=(f\circ f)(b_{2n-1}),\;b_{2n+2}=(f\circ f)(b_{2n}))
,
iar funcția
este strict crescătoare, deci cele 2 subșiruri sunt monotone.
Speculând faptul că f este descrescătoare și f(L)=L, avem:
adică primul subșir, al termenilor de rang impar, este mărginit superior de L, iar celălalt este mărginit inferior de L.
Cum
înseamnă că primul subșir va fi crescător
și, în consecință, al doilea va fi descrescător, invers față de cele scrise în rezolvare. Limitele lor vor fi puncte fixe ale funcției h. Constatând că h are un singur punct fix, același L ca și funcția f, deducem că cele două subșiruri au aceeași limită L.
