Probleme trigonometrie UTCN

Radicali. Functia exponentiala si functia logaritmica. Functii trigonometrice si inverse. Numere complexe. Metode de numarare (permutari, aranjamente, combinari, Binomul lui Newton). Matematici financiare. Geometrie: ecuatiile dreptei.
aronpetrov
utilizator
utilizator
Mesaje: 6
Membru din: 26 Sep 2018, 18:55

Probleme trigonometrie UTCN

Mesaj de aronpetrov » 20 Oct 2018, 20:20

Buna seara!Am mare nevoie de ajutor in legatura cu urmatoarele probleme:
1)
Multimea valorilor lui a pentru care ecuatia are solutii reale este?
2)Inversa functiei f:[pi/2,3pi/2]->[-1,1], f(x)=sin(x) este...?(Stiu ca domeniul functiei arcsinus este [-pi/2,pi/2], dar nu stiu exact cum sa procedez...)
3)
Multimea valorilor functiei f este...?
4)
5)Numarul de solutii in intervalul [0,pi] ale ec=?

(Am observat solutia pi/2, dar oare nu mai sunt si altele?)

ghioknt
profesor
profesor
Mesaje: 1460
Membru din: 09 Apr 2013, 14:56
Localitate: Bucuresti

Re: Ecuație trigonometrica - compatibilitate

Mesaj de ghioknt » 20 Oct 2018, 23:01

aronpetrov scrie:
20 Oct 2018, 20:20
Buna seara!Am mare nevoie de ajutor in legatura cu urmatoarele probleme:
1)
Multimea valorilor lui a pentru care ecuatia are solutii reale este?

Această ecuație liniară are soluții dacă și numai dacă

ghioknt
profesor
profesor
Mesaje: 1460
Membru din: 09 Apr 2013, 14:56
Localitate: Bucuresti

Re: Probleme trigonometrie UTCN

Mesaj de ghioknt » 20 Oct 2018, 23:30

aronpetrov scrie:
20 Oct 2018, 20:20
2)Inversa functiei f:[pi/2,3pi/2]->[-1,1], f(x)=sin(x) este...?(Stiu ca domeniul functiei arcsinus este [-pi/2,pi/2], dar nu stiu exact cum sa procedez...)
Corect era să spui: mulțimea valorilor funcției arcsin este [-pi/2; pi/2]; sau: domeniul pe care se inversează funcția sin pentru a obține funcția numită arcsinus este [-pi/2; pi/2].
Funcția din această problemă este și ea inversabilă pentru că este strict descrescătoare pe [pi/2; 3pi/2], deci injectivă și, pe acest inteval, parcurge toate valorile dela 1 la -1, deci este și surjectivă.
Concret, pentru orice y din [-1; 1]
Dar acum , deci putem scrie
Avem

ghioknt
profesor
profesor
Mesaje: 1460
Membru din: 09 Apr 2013, 14:56
Localitate: Bucuresti

Re: Probleme trigonometrie UTCN

Mesaj de ghioknt » 21 Oct 2018, 15:50

aronpetrov scrie:
20 Oct 2018, 20:20
3)
Multimea valorilor functiei f este...?
Inegalitatea este evidentă, pentru că în membrul stâng lipsește cel puțin un termen (pozitiv) al dezvoltării binomului din membrul drept.
Deci , iar egalitatea are loc în 0. de exemplu.
Pentru aflarea minimului poți folosi inegalitatea Jensen pentru funcția concavă
, egalitatea având loc în pi/4.
Desigur, cele două valori extreme le poți afla și studiind cu ajutorul derivatei variația funcției f pe intervalul [0; pi/2], după ce observi că perioada principală a lui f este pi/2.

aronpetrov
utilizator
utilizator
Mesaje: 6
Membru din: 26 Sep 2018, 18:55

Re: Probleme trigonometrie UTCN

Mesaj de aronpetrov » 21 Oct 2018, 18:13

Multumesc enorm!

ghioknt
profesor
profesor
Mesaje: 1460
Membru din: 09 Apr 2013, 14:56
Localitate: Bucuresti

Re: Probleme trigonometrie UTCN

Mesaj de ghioknt » 21 Oct 2018, 20:46

aronpetrov scrie:
20 Oct 2018, 20:20
4)
Cea mai directă metodă este să calculezi și să folosești consecvent identitatea
.



Am mai folosit identitatea

ghioknt
profesor
profesor
Mesaje: 1460
Membru din: 09 Apr 2013, 14:56
Localitate: Bucuresti

Re: Probleme trigonometrie UTCN

Mesaj de ghioknt » 22 Oct 2018, 20:21

aronpetrov scrie:
20 Oct 2018, 20:20
5)Numarul de solutii in intervalul [0,pi] ale ec=?

(Am observat solutia pi/2, dar oare nu mai sunt si altele?)
În încheiere voi observa că ecuația nu poate avea soluții în intervalul (pi/2; pi] pentru că pe acest interval cosinusul ia valori negative, în timp ce radicalul din membrul stâng are doar valori nenegative.
Pe intervalul [0; pi/2] expresia își atinge valoarea minimă
în 0 și în pi/2, și această valoare minimă este 1. Asta înseamnă că membrul stâng are numai valori >=1, în timp ce membrul drept are valori în [0; 1]. În concluzie, egalitatea poate avea loc numai dacă ambii membri pot lua simultan valoarea 1, ceeace se întâmplă doar pentru x=0, singura soluție a ecuației.

Scrie răspuns
  • Subiecte similare
    Răspunsuri
    Vizualizări
    Ultimul mesaj