Pe R se defineste legea de compozitie:
cu a din R fixat.
Determinati a astfel incat [0,1] sa fie partea stabila a lui R in raport cu ,,".
Calculati:
Legi de compozitie
Re: Legi de compozitie
Din , deci această condiție este necesară pentru ca intervalul [0; 1]
să fie parte stabilă a lui R. Să arătăm că este și condiție suficientă.
este o funcție polinomială de grad cel mult 1 în raport cu a, adică o funcție ale cărei valori extreme sunt
. Dacă în condițiile în care x și y sunt din [0; 1], ambele valori extreme ale funcției sunt în [0; 1], atunci toate valorile acestei funcții sunt din același interval, și asta trebuia demonstrat ca [0; 1] să fie parte stabilă.
Ori inegalitățile sunt evident adevărate pentru orice pereche de numere din [0; 1].
A doua cerință pare mai ciudată dat fiind că legea de compoziție dată nu este asociativă (decât pentru a=0).
Voi folosi notațiile
Asta pentru că în condițiile unei legi neasociative, nu poate să însemne decât
, iar funcția f mai are și proprietatea f(f(t))=t pentru orice t real.
Relația de definiție a legii de compoziție se mai poate structura așa:
.
.
să fie parte stabilă a lui R. Să arătăm că este și condiție suficientă.
este o funcție polinomială de grad cel mult 1 în raport cu a, adică o funcție ale cărei valori extreme sunt
. Dacă în condițiile în care x și y sunt din [0; 1], ambele valori extreme ale funcției sunt în [0; 1], atunci toate valorile acestei funcții sunt din același interval, și asta trebuia demonstrat ca [0; 1] să fie parte stabilă.
Ori inegalitățile sunt evident adevărate pentru orice pereche de numere din [0; 1].
A doua cerință pare mai ciudată dat fiind că legea de compoziție dată nu este asociativă (decât pentru a=0).
Voi folosi notațiile
Asta pentru că în condițiile unei legi neasociative, nu poate să însemne decât
, iar funcția f mai are și proprietatea f(f(t))=t pentru orice t real.
Relația de definiție a legii de compoziție se mai poate structura așa:
.
.
Re: Legi de compozitie
Când am studiat asociativitatea am ajuns la concluzia ca:
De aici ati ajuns la concluzia că a=0? Eu am tras concluzia(cel mai probabil absurdă) ca pt x=y legaea e asociativă.
De aici ati ajuns la concluzia că a=0? Eu am tras concluzia(cel mai probabil absurdă) ca pt x=y legaea e asociativă.
Re: Legi de compozitie
Atenție, legea este asociativă dacă egalitatea ce definește asociativitatea are loc fără nicio restricție asupra variabilelor x, y, z. Faptul că pentru a nenul e nevoie de x=z arată exact faptul că legea e neasociativă.
În cazul nostru, al puterilor unui același element, comutativitatea maschează neasociativitatea:
are totuși loc datorită comutativității, nu a asociativității.