Problema siruri
Problema siruri
Se considera sirul Xn, cu X1=3, X2=-1 și Xn•Xn-2 + Xn-1= 2 Sa se calculeze X1+X2+...X2016
Re: Problema siruri
Din 
obținem 
.
Consider propozițiile:\;\;(x_{3n-2}+x_{3n-1}=2)\wedge (x_{3n}=1)\;\forall n\geq 1)
Propoziția P(1) înseamnă\wedge (x_3=1))
și este adevărată.
Fie n un număr natural pentru care P(n) este adevărată și să cercetăm adevărul propoziției P(n+1) adică
\wedge (x_{3n+3}=1))
.
Relația
devine 
Relația
devine 
, adică prima ''jumătate" a lui P(n+1).
Relația
se mai poate scrie 
sau=0)
, și cum primul factor nu poate fi nul (s-ar contrazice prima relație), rămâne că paranteza este nulă, deci și a doua "jumătate" a lui P(n+1) este adevărată. Conform principiului inducției matematice, toate propozițiile P(n) sunt adevărate.
Asta înseamnă că cei 2016 termeni se pot asocia câte 3, consecutivi, fiecare grup având suma 3, deci valoarea sumei este 2016.
Consider propozițiile
Propoziția P(1) înseamnă
Fie n un număr natural pentru care P(n) este adevărată și să cercetăm adevărul propoziției P(n+1) adică
Relația
Relația
Relația
sau
Asta înseamnă că cei 2016 termeni se pot asocia câte 3, consecutivi, fiecare grup având suma 3, deci valoarea sumei este 2016.