problema puteri, cmmdc
problema puteri, cmmdc
Demonstrati ca (x, y) =1 ; i si j sunt numere naturale nenule si diferite
Re: problema puteri, cmmdc
Fie un numar prim care divide si . Cum sunt impare rezulta . Incercam sa ajungem la contradictia .
Presupunem ca , celalalt caz tratandu-se analog.
Avem . Daca , rezulta , de unde , fals. Deci . Notam si avem si .
Observam ca
, deci (1).
Din si din faptul ca , prin adunare deducem , deci adica , contradictie.
Asadar, nu exista niciun numar prim care divide si , adica .
NOTA: Din antepenultimul paragraf al demonstratiei deducem ca daca un numar (nu neaparat prim) pentru un , atunci .
Presupunem ca , celalalt caz tratandu-se analog.
Avem . Daca , rezulta , de unde , fals. Deci . Notam si avem si .
Observam ca
, deci (1).
Din si din faptul ca , prin adunare deducem , deci adica , contradictie.
Asadar, nu exista niciun numar prim care divide si , adica .
NOTA: Din antepenultimul paragraf al demonstratiei deducem ca daca un numar (nu neaparat prim) pentru un , atunci .
Re: problema puteri, cmmdc
Nu înțeleg cum, pe al doilea rând, apare factorul pe primul rând exponenții lui 2 sunt, la rândul lor, puteri ale lui 2, în timp ce acel nu este întotdeauna o putere a lui 2.
Voi folosi următoarea afirmație ușor de probat: dacă 2 numere dau la împărțirea cu d>1 restul 1, atunci și produsul lor da la împărțirea cu d dă tot restul 1 cu consecința, dacă un numar natural dă restul 1 la împărțirea cu d, atunci orice putere a sa dă același rest, 1.
Fie d un divizor comun al celor două numere: . Deducem
, deci avem un număr care dă restul 1 la împărțirea cu d.
.
De aici concluzia că d este un divizor al lui 2. Cum 2 nu poate fi, rămâne d=1.
Re: problema puteri, cmmdc
Adevarat.. atunci 'demonstratia' mea e gresita. Ma bucur ca mi-a spus cineva, chiar asteptam un feedback. Am avut iluzia ca puterea scade si nu doar exponentul puterii lui de la putere..