Sir,Limita

Glow 'n' Show · Mesaj de **Glow 'n' Show** » 22 Sep 2018, 21:38

Fie $(a_{n}) _{n\in \mathbb{N^{*}}}$ cu $a_1=2$ si $a_2=1$
si $\frac{2}{a_n}=\frac{1}{a_{n-1}}+\frac{1}{a_{n+1}}$ pentru orice $n\geq 2$
1) $a_n=?$
2) $\lim_{n->\infty }a_n=?$
Imi poate da cineva niste sugestii de pornire, va rog?

PhantomR · Mesaj de **PhantomR** » 23 Sep 2018, 13:03

Observand ca avem $2\cdot ..$ in membrul stang, relatia de recurenta se poate rescrie ca $\frac{1}{a_n}-\frac{1}{a_{n-1}}=\frac{1}{a_{n+1}}-\frac{1}{a_n}$ .

Notand $b_n=\frac{1}{a_n}-\frac{1}{a_{n-1}},n\geq 2$ , avem $b_2=-\frac{1}{2}$ si relatia de recurenta $b_{n+1}=-b_n$ , relatie ce defineste o progresie geometrica de ratie $-1$ .

Va las pe dumneavoastra sa incercati sa continuati, mentionand ca se poate deduce de aici termenul general (atentie, insa, caci primul termen al progresiei este $b_2$ , nu $b_1$ sau $b_0$ ). Mai departe, pentru a ajunge la formula lui $a_n$ se face suma $b_{n-1}+...+b_2$

. Astept intrebari aici daca nu reusiti

.

Glow 'n' Show · Mesaj de **Glow 'n' Show** » 23 Sep 2018, 15:42

Nu am inteles de ce $b_2=-\frac{1}{2}$
pt n=2 in $b_n=\frac{1}{a_n}-\frac{1}{a_{n-1}}$ => $b_n=\frac{1}{a_2}-\frac{1}{a_1}=\frac{1}{1}-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$ , fara minus..
De asemenea, din relatia $\frac{1}{a_n}-\frac{1}{a_{n-1}}=\frac{1}{a_{n+1}}-\frac{1}{a_{n}}$ mie imi iese $b_{n+1}=b_n$ , nu $-b_n$
Ma scuzati daca am gresit eu la ceva

PhantomR · Mesaj de **PhantomR** » 23 Sep 2018, 18:03

E bine cum ati spus.

Mesaj de **ghioknt** » 23 Sep 2018, 20:06

Mai scurt, relația de recurență ne spune că șirul $(c_n)_{n\geq 1}\;cu\;c_n=\frac{1}{a_n}$ este o progresie aritmetică, iar datele inițiale, că rația ei este 1/2.
Atunci $c_n=\frac{1}{2}+(n-1)\cdot \frac{1}{2}=\frac{n}{2},\;\;a_n=\frac{2}{n}.$

Glow 'n' Show · Mesaj de **Glow 'n' Show** » 23 Sep 2018, 21:28

PhantomR scrie: ↑
23 Sep 2018, 18:03
E bine cum ati spus.

multumesc mult de ajutor,am reusit sa finalizez rezolvarea cu o iteratie simpla

ghioknt scrie: ↑
23 Sep 2018, 20:06
Mai scurt, relația de recurență ne spune că șirul $(c_n)_{n\geq 1}\;cu\;c_n=\frac{1}{a_n}$ este o progresie aritmetică, iar datele inițiale, că rația ei este 1/2.
Atunci $c_n=\frac{1}{2}+(n-1)\cdot \frac{1}{2}=\frac{n}{2},\;\;a_n=\frac{2}{n}.$

multumesc si pentru aceasta metoda

, acum sunt sigur ca mi-a dat corect $a_n$

Forum AniDeȘcoală.ro

Sir,Limita

Sir,Limita

Re: Sir,Limita

Re: Sir,Limita

Re: Sir,Limita

Re: Sir,Limita

Re: Sir,Limita