geometrie

[alexx04]

Fie triunghiul ABC si fie M,N,P punctele de tangenta ale cercului de centru I, inscris in triunghiul ABC cu laturile BC, CA, respectiv AB. Notam BI MN = , CI MP= , AE BC= si AF BC= .

a) Aratati ca m( BEM) = m(BAC)


b) Determinati lungimile segmentelor RS si EF in functie de lungimile laturilor triunghiului ABC.

Este o problema din gazeta matematica, am facut punctul a) dar nu stiu sa il fac pe b)...putin ajutor?

[ghioknt]

Dacă ai demonstrat că , atunci poți arăta că punctele A, I, E, M sunt conciclice. Pentru că, dacă ai desenat un triunghi ABC cu a>c, atunci E se află între M și N, și patrulaterul AIEN este inscriptibil pentru că are două unghiuri opuse suplementare; dacă ai situația în care a<c, atunci N se află între M și E și patrulaterul AINE este inscriptibil pentru că diagonalele [IE] și [AN] formează cu laturile [EN], respectiv, [AI] - laturi opuse - unghiuri congruente. Oricum ar fi desenul, triunghiul ANI este dreptunghic în N, deci este înscris în cercul de diametru [AI], deci și triunghiul AEI este dreptunghic în E, fiind înscris în același cerc de diametru [AI]. Asta înseamnă că în triunghiul ABS [BE] este și bisectoare și înălțime, deci dreapta BE este mediatoarea segmentului [AS].
Analog, se demonstrează și și în final că dreapta CF este mediatoarea segmentului [AR]. Atunci I apare ca centrul cercului circumscris triunghiului ARS, deci cele trei puncte sunt egal depărtate de I, centrul cercului înscris în triunghiul ABC.
Dar dacă două puncte exterioare unui cerc sunt egal depărtate de centrul cercului, atunci tangentele la cerc duse din cele două puncte au lungimi egale, aceste cuvinte însemnând în cazul de față că RM=SM=AN. Cred că știi că AN =p-a, deci RS=2p-2a=b+c-a. În plus, din cele spuse mai sus, este evident că [EF] est linie mijlocie în triunghiul ARS.

[alexx04]

Va multumesc mult, domnule profesor! Solutia e ingenioasa!

[ghioknt]

Dacă ai înțeles și ți-a plăcut, inseamnă că truda mea nu a fost zadarnică