Limite sume

Penguin200 · Mesaj de **Penguin200** » 25 Iul 2018, 10:45

Buna!Oare cum as putea rezolva urmatoarea problema cu cunostiinte de nivelul clasei a 11-a?
Cunoscand $\lim_{x \to inf}\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k^2}=\frac{pi^2}{6}$ , care este valoarea $\lim_{x\to inf}\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{(2k-1)^2}$

Multumesc!

PhantomR · Mesaj de **PhantomR** » 26 Iul 2018, 01:04

Salut,

Daca notam sirul $s_n=\sum_{k=1}^n \frac{1}{k^2}$ , avem ca $\lim s_n = \frac{\pi^2}{6}$ .

Limita de calculat se scrie $\lim \sum_{k=1}^n \frac{1}{(2k-1)^2}=\lim \frac{1}{1^2}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{(2n-1)^2}=\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{(2n-1)^2}-(\frac{1}{2^2}+\frac{1}{4^2}+...+\frac{1}{(2n-2)^2})=$
$=\sum_{k=1}^{2n-1} \frac{1}{k^2}-\sum_{k=1}^{n-1}\frac{1}{(2k)^2}=\sum_{k=1}^{2n-1} \frac{1}{k^2}-\frac{1}{2^2}\sum_{k=1}^{n-1}\frac{1}{k^2}=s_{2n-1}-\frac{1}{4}s_{n-1}$ .

Trecand la limita si folosind faptul ca subsirurile $(s_{2n-1}),(s_{n-1})$ au aceeasi limita ca si sirul $(s_n)$ , obtinem ca limita cautata este $\frac{3}{4} \frac{\pi^2}{6}=\frac{\pi^2}{4}$

Forum AniDeȘcoală.ro

Limite sume

Limite sume

Re: Limite sume