Limita,sir convergent (UNIBUC)

Mesaj de **ghioknt** » 12 Iun 2018, 22:17

Integrator scrie: ↑
12 Iun 2018, 07:16

Bună dimineața,

Fară supărare , dar la punctul c) din enunțul problemei nu se specifică în mod explicit că $x>0$ și deci $x\in \mathbb R$ * și din aceasta cauză ecuația $\rm arctg\frac{1}{x}-\rm arcctg\frac{1}{x}=\frac{1}{n}$ are câte două soluții pentru fiecare $n\in \mathbb N$ * și acest lucru este valabil oricând și oriunde în lume....Dacă se specifica că $x>0$ atunci nu aș mai avut nimic de zis....
Cu fraza "identitatea $arctg\frac{1}{x}-arcctg\frac{1}{x}=2arctg\frac{1}{x}-\frac{\pi}{2}$ nu ar fi adevărată pentru x<0" încercați să dregeți busuiocu'...Este evident că identitatea $arctg\frac{1}{x}-arcctg\frac{1}{x}=2arctg\frac{1}{x}-\frac{\pi}{2}$ este adevărată doar pentru $x>0$ .
-----------------------------------------------
Eu nu derutez pe nimeni.....Dacă la OIM se dă ecuația $\rm arctg\frac{1}{x}-\rm arcctg\frac{1}{x}=\frac{1}{n}$ unde $n\in \mathbb N$ * , atunci cum ar rezolva un român si un englez această ecuație?
Numai bine,
Integrator

Și elevii români, și cei englezi, ba chiar și cei americani bine școliți știu definiția funcției $arcctg (arccotan, cotan^{-1})$
Prin definiție avem $arcctg:\mathbb{R}\to (0;\pi )$ https://en.wikipedia.org/wiki/Inverse_t ... _functions
Ce să vezi, funcția inversă a funcției cotangentă nu ia, oficial, decât valori pozitive, de aceea nu credeam ca ați fi în stare să îndemnați elevi români să creadă că $arcctg(-1)=-\frac{\pi}{4}$ .
Identitatea $arctg\frac{1}{x}-arcctg\frac{1}{x}=2arctg\frac{1}{x}-\frac{\pi}{2}$ devine pentru x=-1:
$arctg\frac{1}{-1}-arcctg\frac{1}{-1}=2arctg\frac{1}{-1}-\frac{\pi}{2}\Leftrightarrow -\frac{\pi}{4}-(\pi-\frac{\pi}{4})=2\cdot (-\frac{\pi}{4})-\frac{\pi}{2}$
Ce nu este adevărat aici?

Integrator · Mesaj de **Integrator** » 13 Iun 2018, 09:09

ghioknt scrie: ↑
12 Iun 2018, 22:17

Integrator scrie: ↑
12 Iun 2018, 07:16

Bună dimineața,

Fară supărare , dar la punctul c) din enunțul problemei nu se specifică în mod explicit că $x>0$ și deci $x\in \mathbb R$ * și din aceasta cauză ecuația $\rm arctg\frac{1}{x}-\rm arcctg\frac{1}{x}=\frac{1}{n}$ are câte două soluții pentru fiecare $n\in \mathbb N$ * și acest lucru este valabil oricând și oriunde în lume....Dacă se specifica că $x>0$ atunci nu aș mai avut nimic de zis....
Cu fraza "identitatea $arctg\frac{1}{x}-arcctg\frac{1}{x}=2arctg\frac{1}{x}-\frac{\pi}{2}$ nu ar fi adevărată pentru x<0" încercați să dregeți busuiocu'...Este evident că identitatea $arctg\frac{1}{x}-arcctg\frac{1}{x}=2arctg\frac{1}{x}-\frac{\pi}{2}$ este adevărată doar pentru $x>0$ .
-----------------------------------------------
Eu nu derutez pe nimeni.....Dacă la OIM se dă ecuația $\rm arctg\frac{1}{x}-\rm arcctg\frac{1}{x}=\frac{1}{n}$ unde $n\in \mathbb N$ * , atunci cum ar rezolva un român si un englez această ecuație?
Numai bine,
Integrator
Și elevii români, și cei englezi, ba chiar și cei americani bine școliți știu definiția funcției $arcctg (arccotan, cotan^{-1})$
Prin definiție avem $arcctg:\mathbb{R}\to (0;\pi )$ https://en.wikipedia.org/wiki/Inverse_t ... _functions
Ce să vezi, funcția inversă a funcției cotangentă nu ia, oficial, decât valori pozitive, de aceea nu credeam ca ați fi în stare să îndemnați elevi români să creadă că $arcctg(-1)=-\frac{\pi}{4}$ .
Identitatea $arctg\frac{1}{x}-arcctg\frac{1}{x}=2arctg\frac{1}{x}-\frac{\pi}{2}$ devine pentru x=-1:
$arctg\frac{1}{-1}-arcctg\frac{1}{-1}=2arctg\frac{1}{-1}-\frac{\pi}{2}\Leftrightarrow -\frac{\pi}{4}-(\pi-\frac{\pi}{4})=2\cdot (-\frac{\pi}{4})-\frac{\pi}{2}$
Ce nu este adevărat aici?

Bună dimineața,

Din https://en.wikipedia.org/wiki/Inverse_t ... _functions rezultă că funcția $\rm arcctg\frac{1}{x}$ , despre care este vorba în problema inițială , are formula de calcul $\rm arcctg\frac{1}{x}=\frac{3\pi}{2}-\rm arcctgx$ dacă $x<0$ și deci cu această formulă rezultă și pentru români și pentru englezi și pentru orice matematician terestru sau extraterestru că $\rm arcctg(\frac{1}{-1})=\frac{3\pi}{2}-\rm arcctg(-1)=-\frac{\pi}{4}$ .Ca atare ecuația $\rm arctg \frac{1}{x}-\rm arcctg \frac{1}{x}=\frac{1}{n}$ are în mulțimea $\mathbb R$ * câte două soluții pentru fiecare $n\in \mathbb N$ *.Dacă se specifica că ecuația trebuie sa fie rezolvată doar pentru valori $x>0$ atunci era clar ca această ecuație are în acest caz o soluție unică pentru fiecare $n\in \mathbb N$ * și atunci eu nu mai aveam vreo obiecție...Enunțul problemei la punctul c) nu specifică pentru ce valori ale lui $x$ trebuie rezolvată ecuația și ca atare nu poate fi vorba de o solutie unică în multimea $\mathbb R$ *...
-------------------------------------------
Sper , că toti cei interesați de subiectul problemei inițiale au înțeles obiecțiile mele și că nu eu sunt cel care derutează....
--------------------------------------------
1) Care este deosebirea dintre graficele funcțiilor $u(x)=\rm arctg \frac{1}{x}$ definită pe mulțimea $\mathbb R$ * și $v(x)=\rm arctgx$ definită pe mulțimea $\mathbb R$ ?
2) Care este deosebirea dintre graficele funcțiilor $u(x)=\rm arcctg \frac{1}{x}$ definită pe mulțimea $\mathbb R$ * și $v(x)=\rm arcctgx$ definită pe mulțimea $\mathbb R$ ?
3) Care este graficul funcției $f(x)=\rm arctg\frac{1}{x}-\rm arcctg\frac{1}{x}$ definită pe mulțimea $\mathbb R$ *?Mulțumesc mult!

Numai bine,

Integrator

Mesaj de **ghioknt** » 13 Iun 2018, 23:42

Integrator scrie: ↑
13 Iun 2018, 09:09

Din https://en.wikipedia.org/wiki/Inverse_t ... _functions rezultă că funcția $\rm arcctg\frac{1}{x}$ , despre care este vorba în problema inițială , are formula de calcul $\rm arcctg\frac{1}{x}=\frac{3\pi}{2}-\rm arcctgx$ dacă $x<0$ și deci cu această formulă rezultă și pentru români și pentru englezi și pentru orice matematician terestru sau extraterestru că $\rm arcctg(\frac{1}{-1})=\frac{3\pi}{2}-\rm arcctg(-1)=-\frac{\pi}{4}$ .Ca atare ecuația $\rm arctg \frac{1}{x}-\rm arcctg \frac{1}{x}=\frac{1}{n}$ are în mulțimea $\mathbb R$ * câte două soluții pentru fiecare $n\in \mathbb N$ *.Dacă se specifica că ecuația trebuie sa fie rezolvată doar pentru valori $x>0$ atunci era clar ca această ecuație are în acest caz o soluție unică pentru fiecare $n\in \mathbb N$ * și atunci eu nu mai aveam vreo obiecție...Enunțul problemei la punctul c) nu specifică pentru ce valori ale lui $x$ trebuie rezolvată ecuația și ca atare nu poate fi vorba de o solutie unică în multimea $\mathbb R$ *...
-------------------------------------------
Sper , că toti cei interesați de subiectul problemei inițiale au înțeles obiecțiile mele și că nu eu sunt cel care derutează....

Mai îndrăznesc două întrebări, pentru că sunt extrem de curios dacă veți răspunde:
1) este adevărat că $\frac{1}{-1}=-1?$
2)este adevărat că din $arcctg(-1)=\frac{3\pi}{2}-arcctg(-1)$ rezultă $2arcctg(-1)=\frac{3\pi}{2}?$
Cu siguranță de aici veți trage concluzia $arcctg(-1)=-\frac{\pi}{4}$ , așa că asta nu va mai întreb.
Scopul postărilor dvs este să-i bulversați pe elevi, să-i faceți să creadă că funcția notată la noi cu arcctg nu este acea funcție din manualele noastre, continuă și strict descrescătoare pe $\mathbb {R}$ și cu valori în $(0;\pi)$ , deci strict pozitive, ci o funcție de pe aiurea, notată asemănător, de ex. $cotan^{-1}$ , ale cărei valori sunt alese după criteriul bizar ''cea mai mică în valoare absolută".
Pentru cei care iau de bune cele scrise în manualele noastre este clar că funcția $f(x)= arctg \frac{1}{x}-arcctg \frac{1}{x}$
este strict descrescătoare și contimuă pe intervalul $(-\infty ;0)$ , deci pe acest interval
$M=supf(x)=\lim_{x\to -\infty }f(x)=arctg0-arcctg0=0-\frac{\pi }{2}=-\frac{\pi }{2}\\m=inff(x)=\lim_{x\to 0\\x<0}f(x)=\lim_{t\to -\infty }(arctgt-arcctgt)=-\frac{\pi}{2}-\pi=-\frac{3\pi }{2}$
$f\left ( (-\infty ;0) \right )=\left ( -\frac{3\pi}{2};-\frac{\pi}{2} \right ),\;\frac{1}{n}\notin \left ( -\frac{3\pi}{2};-\frac{\pi}{2} \right ) ,\;deci\;f(x)=\frac{1}{n}$
nu are soluții în intervalul $(-\infty ;0)$ .
Funcția f are valori pozitive numai pe intervalul (0; 1), deci toate soluțiile ecuațiilor f(x)=1/n sunt doar în acest interval.

Integrator · Mesaj de **Integrator** » 14 Iun 2018, 10:13

ghioknt scrie: ↑
13 Iun 2018, 23:42

Integrator scrie: ↑
13 Iun 2018, 09:09

Din https://en.wikipedia.org/wiki/Inverse_t ... _functions rezultă că funcția $\rm arcctg\frac{1}{x}$ , despre care este vorba în problema inițială , are formula de calcul $\rm arcctg\frac{1}{x}=\frac{3\pi}{2}-\rm arcctgx$ dacă $x<0$ și deci cu această formulă rezultă și pentru români și pentru englezi și pentru orice matematician terestru sau extraterestru că $\rm arcctg(\frac{1}{-1})=\frac{3\pi}{2}-\rm arcctg(-1)=-\frac{\pi}{4}$ .Ca atare ecuația $\rm arctg \frac{1}{x}-\rm arcctg \frac{1}{x}=\frac{1}{n}$ are în mulțimea $\mathbb R$ * câte două soluții pentru fiecare $n\in \mathbb N$ *.Dacă se specifica că ecuația trebuie sa fie rezolvată doar pentru valori $x>0$ atunci era clar ca această ecuație are în acest caz o soluție unică pentru fiecare $n\in \mathbb N$ * și atunci eu nu mai aveam vreo obiecție...Enunțul problemei la punctul c) nu specifică pentru ce valori ale lui $x$ trebuie rezolvată ecuația și ca atare nu poate fi vorba de o solutie unică în multimea $\mathbb R$ *...
-------------------------------------------
Sper , că toti cei interesați de subiectul problemei inițiale au înțeles obiecțiile mele și că nu eu sunt cel care derutează....
Mai îndrăznesc două întrebări, pentru că sunt extrem de curios dacă veți răspunde:
1) este adevărat că $\frac{1}{-1}=-1?$
2)este adevărat că din $arcctg(-1)=\frac{3\pi}{2}-arcctg(-1)$ rezultă $2arcctg(-1)=\frac{3\pi}{2}?$
Cu siguranță de aici veți trage concluzia $arcctg(-1)=-\frac{\pi}{4}$ , așa că asta nu va mai întreb.
Scopul postărilor dvs este să-i bulversați pe elevi, să-i faceți să creadă că funcția notată la noi cu arcctg nu este acea funcție din manualele noastre, continuă și strict descrescătoare pe $\mathbb {R}$ și cu valori în $(0;\pi)$ , deci strict pozitive, ci o funcție de pe aiurea, notată asemănător, de ex. $cotan^{-1}$ , ale cărei valori sunt alese după criteriul bizar ''cea mai mică în valoare absolută".
Pentru cei care iau de bune cele scrise în manualele noastre este clar că funcția $f(x)= arctg \frac{1}{x}-arcctg \frac{1}{x}$
este strict descrescătoare și contimuă pe intervalul $(-\infty ;0)$ , deci pe acest interval
$M=supf(x)=\lim_{x\to -\infty }f(x)=arctg0-arcctg0=0-\frac{\pi }{2}=-\frac{\pi }{2}\\m=inff(x)=\lim_{x\to 0\\x<0}f(x)=\lim_{t\to -\infty }(arctgt-arcctgt)=-\frac{\pi}{2}-\pi=-\frac{3\pi }{2}$
$f\left ( (-\infty ;0) \right )=\left ( -\frac{3\pi}{2};-\frac{\pi}{2} \right ),\;\frac{1}{n}\notin \left ( -\frac{3\pi}{2};-\frac{\pi}{2} \right ) ,\;deci\;f(x)=\frac{1}{n}$
nu are soluții în intervalul $(-\infty ;0)$ .
Funcția f are valori pozitive numai pe intervalul (0; 1), deci toate soluțiile ecuațiilor f(x)=1/n sunt doar în acest interval.

Bună dimineața,

Totul pleacă de la graficul funcției $f:R$ * $\rightarrow R$ , $f(x)=\rm arctg \frac{1}{x}-\rm arcctg \frac{1}{x}$ ...Care este acest grafic?
Funcția $f(x)=\rm arctg \frac{1}{x}-\rm arcctg \frac{1}{x}$ este strict descrescătoare și pozitivă pentru $x\in (-\infty,-1) \cup (0,1)$ anulându-se pentru $x=\mp 1$ ...și graficul ar trebui să fie cel dat de https://www.wolframalpha.com/input/?i=f ... ctg(1%2Fx)
---------------------------------------
Din formula $\rm arcctg\frac{1}{x}=\frac{3\pi}{2}-\rm arcctgx=\pi +\rm arctgx$ dacă $x<0$ , dată de https://en.wikipedia.org/wiki/Inverse_t ... _functions rezultă de fapt că $\rm arcctg\frac{1}{-1}=\frac{3\pi}{2}-\rm arcctg(-1)=\frac{7\pi}{4}$ care corespunde argumentului $\frac{-\pi}{4}$ și de aceea , zic eu , că este logic să luăm în considerare valoarea cea mai mică a funcției $f:R$ * $\rightarrow R$ , $f(x)=\rm arctg \frac{1}{x}-\rm arcctg \frac{1}{x}$ , ceea ce consideră corect , zic eu și programul "WolframAlpha"....
-----------------------------------------
În conformitate cu matematica din România , este corectă formula $\rm arcctg\frac{1}{x}=\frac{3\pi}{2}-\rm arcctgx=\pi +\rm arctgx$ dacă $x<0$ dată de https://en.wikipedia.org/wiki/Inverse_t ... _functions?În acest sens aș vrea niște exemple de calcul conforme matematica din România...Mulțumesc mult!Mii de scuze pentru deranj!
---------------------------------------------------------
Eu nu vreau să bulversez pe nimeni ci vreau doar să mă lămuresc asupra acestei probleme....Am să caut un manual de matematică de clasa X-a sau clasa XI-a....

Numai bine,

Integrator

Mesaj de **ghioknt** » 14 Iun 2018, 23:31

Integrator scrie: ↑
14 Iun 2018, 10:13
Totul pleacă de la graficul funcției $f:R$ * $\rightarrow R$ , $f(x)=\rm arctg \frac{1}{x}-\rm arcctg \frac{1}{x}$ ...Care este acest grafic?

Graficul corect al funcției din acest exercițiu a fost dat de Maitreyi aici: https://imgur.com/a/95PDvRa
Dupa cum vedeți, pe intervalul $(-\infty;0)$ graficul se află sub asimptota $y=-\frac{\pi}{2}$ , deci
nici vorbă să ia valori pozitive pe acest interval.
Totul pleacă de fapt de la faptul că nu aveți curajul să spuneți răspicat ce înțelegeți prin funcția pe care o notați cu arcctg, la fel cu, și spre disperarea celorlalți utilizatori ai acestui Forum. Eu, spre exemplu, am scris cât se poate de explicit $arcctg:\mathbb{R}\to (0;\pi)$ . Și dvs ar fi trebuit încă de la prima postare să nu amețiți cititorii și să anuntați cinstit: în cele ce urmează prin funcția arcctg voi înțelege $arcctg:\mathbb{R}\to ....$ și să completați ... cu mulțimea de valori care vă face fericit, evident una care conține și numere negative, din moment ce
țineți morțis ca arcctg(-1) să însemne musai -pi/4 și nu 3pi/4, ca la amărăștenii din Romania. Eventual să ne explicați de ce românii ar trebui să abandoneze ideea unei funcții $arcctg:\mathbb{R}\to (0;\pi)$ și ce să facem cu manualele și autorii lor care au îndrăznit să promoveze așa ceva.
În altă ordine de idei, v-ați justificat de mai multe ori că în text nu se vorbește despre soluțiile din (0; oo) ale ecuației
f(x)=1/n, ci despre soluțiile din R* și de aceea vedeți 2 soluții, nu una. Atunci, întreb și eu, scrie cumva: atenție, în acest exercițiu funcția arcctg nu are accepțiunea din manualele din care ați învățat până acum, ci aceea de pe WolframAlpha?

Mi se pare că sunteți în situația în care ne spuneți, măi fraților, dar voi sunteți criță, din moment ce nu vedeți decât o soluție, acolo unde eu văd cu claritate două!

Integrator · Mesaj de **Integrator** » 15 Iun 2018, 07:17

ghioknt scrie: ↑
14 Iun 2018, 23:31

Integrator scrie: ↑
14 Iun 2018, 10:13
Totul pleacă de la graficul funcției $f:R$ * $\rightarrow R$ , $f(x)=\rm arctg \frac{1}{x}-\rm arcctg \frac{1}{x}$ ...Care este acest grafic?
Graficul corect al funcției din acest exercițiu a fost dat de Maitreyi aici: https://imgur.com/a/95PDvRa
Dupa cum vedeți, pe intervalul $(-\infty;0)$ graficul se află sub asimptota $y=-\frac{\pi}{2}$ , deci
nici vorbă să ia valori pozitive pe acest interval.

Bună dimineața,

Am înțeles!Mai am două întrebări:
1) Programul de calcul "WolframAlpha" greșește când dă acel grafic pentru funcția $f:\mathbb R$ * $\rightarrow \mathbb R$ , $f(x)=\rm arctg \frac{1}{x}-\rm arcctg \frac{1}{x}$ și când spune că ecuația $f(x)=\rm arctg \frac{1}{x}-\rm arcctg \frac{1}{x}=\frac{1}{n}$ are câte două soluții pentru fiecare $n\in \mathbb N$ *?
2) Este bine să apelăm uneori la diverse programe de calcul și deci și la programul de calcul "WolframAlpha" în vederea rezolvării anumitor probleme?
Mulțumesc mult pentru toate comentariile Dvs.!Mii de scuze pentru deranj!

Numai bine,

Integrator

Mesaj de **ghioknt** » 15 Iun 2018, 18:23

1) Nu greșește; programul WolframAlpha își asumă pentru inversa cotangentei: $cot^{-1}:\mathbb{R}\to (-\frac{\pi}{2};0)\cup (0;\frac{\pi}{2}]$
care este o funcție discontinuă, alceva decât functia arcctg pe care, teoretic, o știu elevii noștri. http://mathworld.wolfram.com/InverseTri ... tions.html
2)Dacă cuvântul cheie este uneori, atunci da, este bine. Eu nu le folosesc, așa că nu puneți mare preț pe părerea mea. Fiecare progres in plan tehnic a avut consecințe, care or fi fost apreciate de contemporani drept regrese.
S-a inventat scrisul - au disparut cei care știau și recitau poemele lumii. S-a inventat tiparul - s-au răspândit bibliile, autoritatea preoților s-a diminuat, Luther, Calvin etc. S-a inventat internetul - mai bine întrebăm pe Forumuri decât să citim cărți. Avem WolframAlpha - de ce să concepem noi înșine metode de a folosi Tabelele de logaritmi.

În timp ce scriu aceste rânduri, trag cu urechea la știrile Protv despre măsurătorile efectuate de cercetători, măsurători care au stabilit cu cât a scăzut inteligența umană in ultimile decenii și mă întreb, oare inteligența cercetătorilor a scăpat neatinsă, poate fi depistată și măsurată inteligența actuală de către inteligențe formate în urmă cu ceva ani prin intermediul unor profesori ca mine care au cine știe câți ani?

Integrator · Mesaj de **Integrator** » 16 Iun 2018, 18:43

ghioknt scrie: ↑
15 Iun 2018, 18:23
1) Nu greșește; programul WolframAlpha își asumă pentru inversa cotangentei: $cot^{-1}:\mathbb{R}\to (-\frac{\pi}{2};0)\cup (0;\frac{\pi}{2}]$
care este o funcție discontinuă, alceva decât functia arcctg pe care, teoretic, o știu elevii noștri. http://mathworld.wolfram.com/InverseTri ... tions.html
2)Dacă cuvântul cheie este uneori, atunci da, este bine. Eu nu le folosesc, așa că nu puneți mare preț pe părerea mea. Fiecare progres in plan tehnic a avut consecințe, care or fi fost apreciate de contemporani drept regrese.
S-a inventat scrisul - au disparut cei care știau și recitau poemele lumii. S-a inventat tiparul - s-au răspândit bibliile, autoritatea preoților s-a diminuat, Luther, Calvin etc. S-a inventat internetul - mai bine întrebăm pe Forumuri decât să citim cărți. Avem WolframAlpha - de ce să concepem noi înșine metode de a folosi Tabelele de logaritmi.

În timp ce scriu aceste rânduri, trag cu urechea la știrile Protv despre măsurătorile efectuate de cercetători, măsurători care au stabilit cu cât a scăzut inteligența umană in ultimile decenii și mă întreb, oare inteligența cercetătorilor a scăpat neatinsă, poate fi depistată și măsurată inteligența actuală de către inteligențe formate în urmă cu ceva ani prin intermediul unor profesori ca mine care au cine știe câți ani?

Bună seara,

Dacă programul de calcul "WolframAlpha" nu greșește în privința rezolvării acelei ecuații , atunci la nivel unei facultăți din România acea ecuație s-ar rezolva așa cum zice programul de calcul "WolframAlpha"?Oare cum ar rezolva această ecuație un francez sau un englez?

Cu stimă,

Integrator

Forum AniDeȘcoală.ro

Limita,sir convergent (UNIBUC)

Re: Limita,sir convergent (UNIBUC)

Re: Limita,sir convergent (UNIBUC)

Re: Limita,sir convergent (UNIBUC)

Re: Limita,sir convergent (UNIBUC)

Re: Limita,sir convergent (UNIBUC)

Re: Limita,sir convergent (UNIBUC)

Re: Limita,sir convergent (UNIBUC)

Re: Limita,sir convergent (UNIBUC)