Fie un triunghi ABC..

AnaMaria2323 · Mesaj de **AnaMaria2323** » 12 Iun 2018, 18:31

Fie un triunghi ABC si H ortocentrul sau. Să se arate ca : a) S= $\frac{1}{4}$ ( a*AH + b*BH + c*CH) ;
b) $S= r^{2}( ctg \frac{A}{2} + ctg\frac{B}{2} + ctg \frac{C}{2} )$

Felixx · Mesaj de **Felixx** » 12 Iun 2018, 21:00

b)Se cunoaste identitatea:
$ctg\frac{A}{2}+ctg\frac{B}{2}+ctg\frac{C}{2}=ctg\frac{A}{2}\cdot ctg\frac{B}{2}\cdot ctg\frac{C}{2}=\frac{1}{tg\frac{A}{2}}\frac{1}{tg\frac{B}{2}}\frac{1}{tg\frac{C}{2}}=\frac{1}{\frac{r}{p}}=\frac{p}{r}=\frac{\frac{S}{r}}{r}=\frac{S}{r^{2}}$ de unde avem identitatea de demonstrat.

Mesaj de **ghioknt** » 12 Iun 2018, 22:30

Folosește înălțimile AA', BB', CC și înlocuiește pe AH cu AA'-HA' etc.

PhantomR · Mesaj de **PhantomR** » 12 Iun 2018, 22:31

a) EDIT: Tocmai am vazut ca a postat si domnul ghioknt ideea

. EDIT2: De fapt, se pare ca ideea dumnealui era alta: sa porniti incepand cu membrul drept al egalitatii de demonstrat.
Daca te uiti la figura, am marcat cu colori acele trei triunghiuri. Aria lor da $S$ , deci avem relatia:
$S = \frac{a\cdot HA'}{2}+\frac{b\cdot HB'}{2}+\frac{c\cdot HC'}{2}=\frac{a\cdot (AA'-HA)}{2}+\frac{b\cdot (BB'-HB)}{2}+\frac{c\cdot (CC'-HC)}{2}=$
$= \frac{a\cdot AA'}{2}+\frac{b\cdot BB'}{2}+\frac{c\cdot CC'}{2} - \frac{a\cdot HA}{2} - \frac{b \cdot HB}{2} - \frac{c \cdot HC}{2}=$
$= S + S + S - \frac{a\cdot HA}{2} - \frac{b \cdot HB}{2} - \frac{c \cdot HC}{2}$ .

Deci $S = 3S - \frac{a\cdot HA}{2} - \frac{b \cdot HB}{2} - \frac{c \cdot HC}{2}$ , de unde rezulta relatia ceruta.

Forum AniDeȘcoală.ro

Fie un triunghi ABC..

Fie un triunghi ABC..

Re: Fie un triunghi ABC..

Re: Fie un triunghi ABC..

Re: Fie un triunghi ABC..