507 UTCN2018
507 UTCN2018
Mă puteți ajuta în calculul acestei limite?
Re: 507 UTCN2018
Funcțiile 
de sub integrală sunt periodice de perioadă pi. Consecință: dx=k\int_{0}^{\pi }f_n(x)dx)
.
Ținând cont că ele sunt și pozitive, inegalitățile generale
furnizează
pentrudx)
inegalitățile
\int_{0}^{\pi }f_n<\left [ \frac{n}{\pi } \right ]\int_{0}^{\pi }f_n=\int_{0}^{\left [ \frac{n}{\pi } \right ]\pi }f_n\leq I_n<\int_{0}^{(\left [ \frac{n}{\pi } \right ]+1)\pi }f_n=(\left [ \frac{n}{\pi } \right ]+1)\int_{0}^{\pi }f_n<(\frac{n}{\pi }+1)\int_{0}^{\pi }f_n)
.
Voi calcula
prin cea mai banală metodă, cu ajutorul unei primitive. Atâta vreme cât mă feresc de vreun 
pot scrie
dx=\int \frac{1}{n^2+1+tg^2x}\cdot (tgx)'dx=\frac{1}{\sqrt{n^2+1}}arctg\frac{tgx}{\sqrt{n^2+1}}+C.)
Avem expresia unei primitive valabile pe oricare dintre intervalele,\;(\frac{\pi }{2};\frac{3\pi }{2}))
etc.
O primitivă pe intervalul)
poate fi de forma
=\begin {cases}\frac{1}{\sqrt{n^2+1}}arctg\frac{tgx}{\sqrt{n^2+1}},\;x\in (-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2})\\H_n(\frac{\pi }{2}),\;x=\frac{\pi }{2}\\c+ \frac{1}{\sqrt{n^2+1}}arctg\frac{tgx}{\sqrt{n^2+1}},\;x\in (\frac{\pi }{2};\frac{3\pi }{2})\end{cases})
unde, pentru continuitate, trebuie să avem=H_n(\frac{\pi }{2})=H_n(\frac{\pi }{2}-0)=\frac{\pi}{2\sqrt{n^2+1}})
,
de unde
. Așadar -H_n(0)=\frac{\pi}{\sqrt{n^2+1}})
.
Din\frac{\pi}{\sqrt{n^2+1}}<I_n<(\frac{n}{\pi }+1)\frac{\pi}{\sqrt{n^2+1}})
iese că limita cerută este 1.
Asta a fost pe scurt. Pentru alte detalii aștept întrebări.
Ținând cont că ele sunt și pozitive, inegalitățile generale
pentru
Voi calcula
Avem expresia unei primitive valabile pe oricare dintre intervalele
O primitivă pe intervalul
unde, pentru continuitate, trebuie să avem
de unde
Din
Asta a fost pe scurt. Pentru alte detalii aștept întrebări.
Re: 507 UTCN2018
Integrala poate fi calculată și fără construirea primitivei 
astfel:
+(0-\frac{-\pi}{2\sqrt{n^2+1}}=\frac{\pi}{\sqrt{n^2+1}})
.
Această manieră este mai potrivită la un examen cu timp limitat pentru aflarea răspunsurilor corecte.
Această manieră este mai potrivită la un examen cu timp limitat pentru aflarea răspunsurilor corecte.