Produs scalar

AnaMaria2323 · Mesaj de **AnaMaria2323** » 22 Mai 2018, 22:19

Ce fel de triunghi este triunghiul ABC in care are loc relația : a+c/b = ctg B/2 ?

PhantomR · Mesaj de **PhantomR** » 23 Mai 2018, 03:31

Vreti sa spuneti $\frac{a+c}{b}$ sau $a+\frac{c}{b}$ ? Aproape sigur ati vrut sa va referiti la prima varianta, insa dupa cum ati scris, interpretarea corecta este cea de-a doua.

PhantomR · Mesaj de **PhantomR** » 23 Mai 2018, 03:43

Presupunand prima varianta, folosind formulele pentru functiile trigonometrice ale jumatatilor de unghiuri dintr-un triunghi (http://output.to/sideway/default.asp?qno=130600025), avem $\rm{ctg} \frac{B}{2} = \sqrt{p(p-b)}{(p-a)(p-c)}=(\text{amplificam cu 2})\sqrt{\frac{P(P-2b)}{(P-2a)(P-2c)}}= \sqrt{\frac{(a+c+b)(a+c-b)}{b+c-a)(b+a-c)}}=$
$=\sqrt{\frac{(a+c)^2-b^2}{b^2-(a-c)^2}}$ si atunci relatia din ipoteza se scrie, prin ridicare la patrat: $\frac{(a+c)^2-b^2}{b^2-(a-c)^2} = \frac{(a+c)^2}{b^2}$ , adica $b^2(a+c)^2-b^4=(a+c)^2\cdot b^2-(a+c)^2(a-c)^2$ sau $-b^4=-[(a+c)(a-c)]^2 \Leftrightarrow b^4=(a^2-c^2)^2$ sau, luand radical, $b^2=|a^2-c^2|$ .

Exista doua posibilitati:
$a > c$ , caz in care $b^2=a^2-c^2 \Leftrightarrow a^2=b^2+c^2$ , deci triunghiul e dreptunghic in $A$ .
$c< a$ in care obtinem ca triunghiul e dreptunghic in $C$ .
(cazul $a=c$ duce la un triunghi degenerat cu $b=0$ )

Deci raspunsul e ca triunghiul este dreptunghic.

Felixx · Mesaj de **Felixx** » 24 Mai 2018, 02:09

$\frac{a+c}{b}=ctg\frac{B}{2}$
Folosind teorema sinusului avem: $\frac{2RsinA+2RsinC}{2RsinB}=ctg\frac{B}{2}$ unde folosindu-ne de relatia:
$ctg\frac{B}{2}=\frac{1+cosB}{sinB}$ obtinem:
$\frac{sinA+sinC}{sinB}=\frac{1+cosB}{sinB}$ .Prin urmare relatia din enunt devine:
$sinA+sinC=1+cosB\Leftrightarrow 2\sin\frac{A+C}{2}\cos\frac{A-C}{2}=2cos^{2}\frac{B}{2}\Leftrightarrow 2\sin\left ( \frac{\pi }{2}-\frac{B}{2} \right )\cos\frac{A-C}{2}-2\cos^{2}\frac{B}{2}=0\Leftrightarrow 2\cos\frac{B}{2}\left ( \cos\frac{A-C}{2}-\cos\frac{B}{2} \right )=0$
de unde $\cos\frac{B}{2}=0\Rightarrow \frac{B}{2}=\frac{\pi }{2}\Rightarrow B=\pi$ ceea ce este imposibil,
sau
$\cos\frac{A-C}{2}-\cos\frac{B}{2}=0\Leftrightarrow -2\sin\frac{\frac{A-C}{2}+\frac{B}{2}}{2}\sin\frac{\frac{A-C}{2}-\frac{B}{2}}{2}=0\Leftrightarrow \sin\frac{A+B-C}{4}\sin\frac{A-B-C}{4}=0\Leftrightarrow \sin\frac{\pi -2C}{4}\sin\frac{2A-\pi }{4}=0\Leftrightarrow -\sin\left ( \frac{\pi }{4}-\frac{C}{2} \right )\sin\left ( \frac{\pi }{4}-\frac{A}{2} \right )=0$
de unde avem :
$\sin\left ( \frac{\pi }{4}-\frac{C}{2} \right )=0\Leftrightarrow \frac{\pi }{4}-\frac{C}{2}=0\Rightarrow C=\frac{\pi }{2}$ si triunghiul ar fi dreptunghic in C
sau $\sin\left ( \frac{\pi }{4}-\frac{A}{2} \right )=0\Leftrightarrow \frac{\pi }{4}-\frac{A}{2}=0\Rightarrow A=\frac{\pi }{2}$ si triunghiul ar fi dreptunghic in A.Deci raspunsul este ca triunghiul este dreptunghic.

Forum AniDeȘcoală.ro

Produs scalar

Produs scalar

Re: Produs scalar

Re: Produs scalar

Re: Produs scalar