UTCN 900

Alex Stoica · Mesaj de **Alex Stoica** » 29 Apr 2018, 17:13

$f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}, f(x)=a*sinx+b*cosx+c, x\varepsilon \mathbb{R}$ .

$M este inclusa in (0,+infinit) daca si numai daca :$ .

$A:a^2+b^2=c , B:a^2+b^2<c^2 , C:sqrt(a^2+b^2)<c D: a+b+c>0 E:a=b=0 si c>0$

PhantomR · Mesaj de **PhantomR** » 30 Apr 2018, 00:07

Cine e $M$ ?

E imaginea functiei (nu e specificat in enunt)? Pe viitor, va rog sa nu postati intreg enuntul in $\LaTeX$ pentru ca se vede urat. Puneti intre

Cod: Selectaţi tot

[tex]

si

Cod: Selectaţi tot

[/tex]

doar bucatile ce contin expresii matematice. Ca sa vedeti un model puteti da 'citare' la o postare dintr-un alt subiect ca sa vedeti cum este scrisa.

Alex Stoica · Mesaj de **Alex Stoica** » 30 Apr 2018, 10:50

Da este imaginea functiei.Data viitoare voi face asa ma scuzati.

PhantomR · Mesaj de **PhantomR** » 30 Apr 2018, 12:23

ok

. O rezolvare se bazeaza pe un artificiu care se foloseste si la rezolvarea ecuatiilor trigonometrice de forma $a\sin x + b\cos x + c = 0$ : impartirea ecuatiei cu $\sqrt{a^2+b^2}$ cand $a$ si $b$ nu sunt simultan nule. Acest artificiu se numeste 'metoda unghiului auxiliar'.

Daca $a=b=0$ , $f(x)=c$ si pentru ca $\rm{Im}f\subset (0;\infty)$ trebuie ca $c>0$ . Analizam mai departe cazul in care $a$ si $b$ nu sunt simultan nule, sa vedem daca nu mai sunt alte solutii.
Astfel, rescriem $f(x)=\sqrt{a^2+b^2}\left(\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}} \sin x + \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\cos x + \frac{c}{\sqrt{a^2+b^2}}\right)$ . Deoarece suma patratelor numerelor $\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}$ si $\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}$ este $1$ , exista un numar $\alpha$ astfel incat $\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}=\cos \alpha$ si $\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}= \sin \alpha$ . Obtinem atunci:
$f(x)=\sqrt{a^2+b^2}(\sin(x+\alpha)+\frac{c}{\sqrt{a^2+b^2}})=\sqrt{a^2+b^2}\sin(x+\alpha) + c$ . De aici $\rm{Im}f = \left [ c-\sqrt{a^2+b^2},c+\sqrt{a^2+b^2}\right ]$ .

Pentru ca imaginea sa contina doar numere strict pozitive, impunem conditia $c-\sqrt{a^2+b^2}>0 \Leftrightarrow c>\sqrt{a^2+b^2}$ .

Observand ca aceasta conditie este verificata si pentru cazul $a=b=0,c>0$ , raspunsul la problema este varianta $\fbox{c)}$ .

EDIT: Uitandu-ma jos la 'subiecte asemanatoare' am gasit ca aceasta problema a mai fost postata inainte pe site.. puteti consulta si acest subiect: viewtopic.php?f=30&t=37838

Forum AniDeȘcoală.ro

UTCN 900

UTCN 900

Re: UTCN 900

Re: UTCN 900

Re: UTCN 900