limita recurenta

Bjarn3 · Mesaj de **Bjarn3** » 27 Apr 2018, 13:29

Fie sirul $(a_n)_{n\geq 1}$ definit prin relatia de recurenta $a_{n+1}=a_n(1-a_n)$ . Sa se calculeze $\displaystyle \limit \lim_{n\to \infty} \sum_{k=0}^n\ a_k.$
Raspunsul ar trebui sa fie $\infty$ dar nu imi dau seama de unde.

Mesaj de **gigelmarga** » 27 Apr 2018, 14:17

Bjarn3 scrie: ↑
27 Apr 2018, 13:29
Fie sirul $(a_n)_{n\geq 1}$ definit prin relatia de recurenta $a_{n+1}=a_n(1-a_n)$ . Sa se calculeze $\displaystyle \limit \lim_{n\to \infty} \sum_{k=0}^n\ a_k.$
Raspunsul ar trebui sa fie $\infty$ dar nu imi dau seama de unde.

Ce se întâmplă dacă primul termen e 0?

Bjarn3 · Mesaj de **Bjarn3** » 27 Apr 2018, 15:18

Am uitat sa specific $a_0\in (0,1)$ .

Mesaj de **gigelmarga** » 27 Apr 2018, 17:18

Indicație:
Se arată ușor că $a_n \in (0,1),\, \forall n\ge 0$ și că $a_n \to 0.$

Relația de recurență se poate scrie $\frac{1}{a_{n+1}}-\frac{1}{a_n}=\frac{1}{1-a_n}.$

Atunci $\lim na_n=\lim \frac{n}{\frac{1}{a_n}}=\lim \frac{n+1-n}{\frac{1}{a_{n+1}}-\frac{1}{a_n}}=\lim \frac{1}{1-a_n}=1$

De aici se obține concluzia (vezi seria armonică).

Bjarn3 · Mesaj de **Bjarn3** » 27 Apr 2018, 19:00

gigelmarga scrie: ↑
27 Apr 2018, 17:18
Atunci $\lim na_n=\lim \frac{n}{\frac{1}{a_n}}=\lim \frac{n+1-n}{\frac{1}{a_{n+1}}-\frac{1}{a_n}}=\lim \frac{1}{1-a_n}=1$

De aici se obține concluzia (vezi seria armonică).

Nu cred ca am inteles partea asta. Va referiti cumva la faptul ca $a_n>\dfrac{1}{n},\forall n>0$ , si atunci din criteriul comparatiei s-ar obtine ca limita este infinit ?

Mesaj de **gigelmarga** » 27 Apr 2018, 20:44

Nu, pentru n suficient de mare, să zicem n>=k, avem $na_n>0,9$ deci $a_n> 0,9\cdot \frac1n$ , și de aici rezultă ce dorim.

(Folosim faptul că, oricare ar fi k, $\lim \sum_{n\ge k}\frac1n=+\infty$ )

PhantomR · Mesaj de **PhantomR** » 28 Apr 2018, 17:12

Ce a folosit domnul gigelmarga trimite cu gandul la al treilea criteriu de comparatie (vedeti aici: https://ro.wikipedia.org/wiki/Criteriile_de_comparație). E posibil sa va ajute si la alte probleme de admitere de la UTCN

.

Bjarn3 · Mesaj de **Bjarn3** » 29 Apr 2018, 19:38

PhantomR scrie: ↑
28 Apr 2018, 17:12
Ce a folosit domnul gigelmarga trimite cu gandul la al treilea criteriu de comparatie (vedeti aici: https://ro.wikipedia.org/wiki/Criteriile_de_comparație). E posibil sa va ajute si la alte probleme de admitere de la UTCN .

Nice

Forum AniDeȘcoală.ro

limita recurenta

limita recurenta

Re: limita recurenta

Re: limita recurenta

Re: limita recurenta

Re: limita recurenta

Re: limita recurenta

Re: limita recurenta

Re: limita recurenta