358/359. UTCN2018- probleme teoretice

[jklR7]

358. Dacă are derivata strict pozitivă atunci:
a. f crescătoare pe R\{0}
b. f crescătoare pe (0,inf)*
Nu înțeleg de ce varianta a nu convine.

359. Dacă o funcție polinomială neconstantă, este strict crescătoare dacă și numai dacă:
a. oricare x real*
b. oricare x real.
Nu înțeleg de ce varianta corecta nu este b. Nu trebuie ca derivata să fie strict pozitivă pentru ca f sa fie strict monotonă și să fie strict crescătoare nu doar crescătoare? Mă gândesc la funcții care nu sunt monotone dar sunt crescatoare pe intervale din R.

[gigelmarga]

358. Dacă are derivata strict pozitivă atunci:
a. f crescătoare pe R\{0}
b. f crescătoare pe (0,inf)*
Nu înțeleg de ce varianta a nu convine.

Vezi funcția Are derivata strict pozitivă, dar nu e crescătoare pe R*. E crescătoare pe fiecare din intervalele (-inf, 0), (0, +inf).

Nu trebuie ca derivata să fie strict pozitivă pentru ca f sa fie strict monotonă și să fie strict crescătoare nu doar crescătoare?

Nu. O funcție e crescătoare fără a fi strict crescătoare dacă și numal dacă există un interval (nedegenerat) unde e constantă. Dar atunci, pe acel interval, derivata ar fi constant 0, ceea ce nu e cazul pentru o funcție polinomială neconstantă.
De exemplu, funcția este strict crescătoare, dar derivata ei se anulează de o infinitate de ori.

[PhantomR]

Si eu am avut candva dilema aceea cu derivata strict mai mare ca zero. Puteti vedea aici un raspuns al regretatului profesor Dan Schwarz (mavropnevma) legat de aceasta problema, in care este prezentat mai in detaliu ce a spus si domnul profesor gigelmarga: https://artofproblemsolving.com/communi ... 75p3536125

[jklR7]

Si eu am avut candva dilema aceea cu derivata strict mai mare ca zero. Puteti vedea aici un raspuns al regretatului profesor Dan Schwarz (mavropnevma) legat de aceasta problema, in care este prezentat mai in detaliu ce a spus si domnul profesor gigelmarga: https://artofproblemsolving.com/communi ... 75p3536125

358. Dacă are derivata strict pozitivă atunci:
a. f crescătoare pe R\{0}
b. f crescătoare pe (0,inf)*
Nu înțeleg de ce varianta a nu convine.

Vezi funcția Are derivata strict pozitivă, dar nu e crescătoare pe R*. E crescătoare pe fiecare din intervalele (-inf, 0), (0, +inf).

Nu trebuie ca derivata să fie strict pozitivă pentru ca f sa fie strict monotonă și să fie strict crescătoare nu doar crescătoare?

Nu. O funcție e crescătoare fără a fi strict crescătoare dacă și numal dacă există un interval (nedegenerat) unde e constantă. Dar atunci, pe acel interval, derivata ar fi constant 0, ceea ce nu e cazul pentru o funcție polinomială neconstantă.
De exemplu, funcția este strict crescătoare, dar derivata ei se anulează de o infinitate de ori.

Vă mulțumesc!