Geometrie

[Utilizator_XD]

Se da un cub ABCDA'B'C'D'.
Demonstrati ca AC' perpendicular pe planul (A'BD)

[DD]

Te rog sa faci un desn si sa constuiesti
planele (A’BD)si(CB’D’). Fie E=AC∩BD si E’=A’C’∩B’D’ Sa unim pe A’ cu E si pe C cu E’ Cúm
A’B=A’D=CB’=CD’’=diagonalele fetelor cubului,triunghiurule A’BD siCB’D’sunt
isoscele deci A’E_|_BD SI CE’_|_B’D’. FIE F=AC’∩A’Esi F’=AC’∩CE’.In triunghiurile A’FC’
siAF’C.care sunt congruente E’F’ siEF sunt linii mijlocii,deci E’F’=EF =A’F/2=CF’/2si AF=FF’=F’C’=L/√3Cum AC’=√3*L A’B=L*sqrt(2) E B_=L/sqrt(2)--;.>A’E^2=A’B^2--EB^2=L^2*2-L^2/2= 3*L^2/2
A’E*2/3=A’F Se vede ca A’F^2=2/3*L^2_

A’F^2+AF^2=AA’^2 sau 2/3*L^2+1/3*L^2=L^2 deci AF_|_A’E In planul(AFE)EF_|_BD siAE_|_BDBD__|_(AFE) Deci BD_|_AF_-->AF_|_A’F si AF_|_BD_-->AF_|_(A’BD)

[gigelmarga]

Vom arăta că deoarece este perpendiculară pe 2 drepte concurente din acel plan. Din motive de simetrie, e suficient să arătăm că Pentru aceasta, vom arăta că și cum urmează concluzia.

Clar, Mai mult, deci căci de unde deducem Cum e perpendiculară pe două drepte concurente din planul va fi perpendiculară pe tot planul, c.c.t.d.

Obs. Similar se arată că Mai mult, cele două plane împart segmentul în 3 părți egale.