242/UTCN2018

jklR7 · Mesaj de **jklR7** » 09 Apr 2018, 13:53

Am încercat să scriu limita in multe alte feluri. Ajung la nedeterminări. Vreo idee se poate, vă rog?

PhantomR · Mesaj de **PhantomR** » 09 Apr 2018, 16:53

Hristos a inviat!

Daca consideram echivalentul in numere reale:

$\lim_{x\to \infty} \frac{x}{\ln x}(x^{\frac{1}{x}} - 1)$ si rescriem $x^{\frac{1}{x}}$ ca $e^{\frac{1}{x}\ln x}$ (eu, sincer sa fiu, am facut aceasta rescriere incercand sa derivez pentru l'Hopital

), obtinem ca putem rescrie limita ca $\lim_{x\to \infty} \frac{e^{\frac{\ln x}{x} - 1}}{\frac{\ln x}{ x}}$ , iar cum $\lim_{x\to \infty} \frac{\ln x}{x} = 0$ , limita noastra o sa fie $\ln e = 1$ .

jklR7 · Mesaj de **jklR7** » 09 Apr 2018, 21:17

PhantomR scrie: ↑
09 Apr 2018, 16:53
Hristos a inviat!

Daca consideram echivalentul in numere reale:

$\lim_{x\to \infty} \frac{x}{\ln x}(x^{\frac{1}{x}} - 1)$ si rescriem $x^{\frac{1}{x}}$ ca $e^{\frac{1}{x}\ln x}$ (eu, sincer sa fiu, am facut aceasta rescriere incercand sa derivez pentru l'Hopital ), obtinem ca putem rescrie limita ca $\lim_{x\to \infty} \frac{e^{\frac{\ln x}{x} - 1}}{\frac{\ln x}{ x}}$ , iar cum $\lim_{x\to \infty} \frac{\ln x}{x} = 0$ , limita noastra o sa fie $\ln e = 1$ .

Abosolut genial. Mulțumesc!

Integrator · Mesaj de **Integrator** » 10 Apr 2018, 09:43

jklR7 scrie: ↑
09 Apr 2018, 13:53
Am încercat să scriu limita in multe alte feluri. Ajung la nedeterminări. Vreo idee se poate, vă rog?

Bună dimineața,

Limita se mai poate scrie $\lim_{n\to \infty} \frac{n(\sqrt[n]{n}-1)}{\ln{n}}=\lim_{n\to \infty} \frac{\sqrt[n]{n}-1}{\ln{\sqrt[n]{n}}}$ , deoarece $\frac{n}{\ln{n}}=\frac{1}{\ln{\sqrt[n]{n}}}$ .Notând $\sqrt[n]{n}=u(n)$ , atunci aplicând regula lui l'Hôpital (sau cum i se mai spune altfel , l'Hospital) rezultă $\lim_{n \to \infty} \frac{u-1}{\ln{u}}=\lim_{n\to \infty} \frac{u'}{\frac{u'}{u}}=\lim_{n\to \infty} u=\lim_{n\to \infty} \sqrt[n]{n}=1$ .Știți să demonstrați că $\lim_{n\to \infty} \sqrt[n]{n}=1$ ?

Toate cele bune,

Integrator

jklR7 · Mesaj de **jklR7** » 10 Apr 2018, 11:08

Integrator scrie: ↑
10 Apr 2018, 09:43

jklR7 scrie: ↑
09 Apr 2018, 13:53
Am încercat să scriu limita in multe alte feluri. Ajung la nedeterminări. Vreo idee se poate, vă rog?
Bună dimineața,

Limita se mai poate scrie $\lim_{n\to \infty} \frac{n(\sqrt[n]{n}-1)}{\ln{n}}=\lim_{n\to \infty} \frac{\sqrt[n]{n}-1}{\ln{\sqrt[n]{n}}}$ , deoarece $\frac{n}{\ln{n}}=\frac{1}{\ln{\sqrt[n]{n}}}$ .Notând $\sqrt[n]{n}=u(n)$ , atunci aplicând regula lui l'Hôpital (sau cum i se mai spune altfel , l'Hospital) rezultă $\lim_{n \to \infty} \frac{u-1}{\ln{u}}=\lim_{n\to \infty} \frac{u'}{\frac{u'}{u}}=\lim_{n\to \infty} u=\lim_{n\to \infty} \sqrt[n]{n}=1$ .Știți să demonstrați că $\lim_{n\to \infty} \sqrt[n]{n}=1$ ?

Toate cele bune,

Integrator

Da, se poate nota $n^{\frac{1}{n}}$ cu x după care se logaritmeaza și se trece la limită. Sau se poate folosi criteriul rădăcinii.
Mulțumesc!

Forum AniDeȘcoală.ro

242/UTCN2018

242/UTCN2018

Re: 242/UTCN2018

Re: 242/UTCN2018

Re: 242/UTCN2018

Re: 242/UTCN2018