https://ibb.co/iShA4n
https://ibb.co/dj7cjn
Cine ma poate ajuta la exercitiile 311 si 312?
UTCN 311-312
Re: UTCN 311-312
312. Privind putin la problema urmatoare(313.) ne vine ideea sa gasim o functie g:(-1,1)→(0,+oo) care sa fie izomorfism de la grupul ,\ast \right ))
la grupul ,\cdot \right ))
Fie=\frac{1-x}{1+x})
=-\frac{2}{\left ( 1+x \right )^{2}}< 0)
,rezulta ca g este strict descrescatoare,rezulta ca g este strict monotona pe (-1,1),rezulta ca g este injectiva.
Aratam usor ca imaginea functiei este egala cu codomeniul,deci functia g este surjectiva.Din g injectiva si surjectiva rezulta ca g este bijectiva
si cum=\frac{1-x\ast y}{1+x\ast y}=...=\frac{1-x}{1+x}\cdot \frac{1-y}{1+y}=g\left ( x \right )\cdot g\left ( y \right ))
rezulta ca g este morfism.Din g morfism si g bijectiva rezulta ca g este izomorfism de la grupulla grupul
.
Din=g\left ( x \right )\cdot g\left ( y \right ))
putem arata prin inductie ca :
=g\left ( x_{1} \right )\cdot g\left ( x_{2} \right )\cdot ...g\left ( x_{n} \right )\forall n\in \mathbb{N},n\geq 2)
Atunci:=g\left ( \frac{1}{2} \right )\cdot g\left ( \frac{1}{3} \right )\cdot ...\cdot g\left ( \frac{1}{100} \right )=\frac{1}{3}\cdot \frac{2}{4}\cdot \frac{3}{5}\cdot ...\cdot \frac{999}{1001}=\frac{2}{1001000})
Din g bijectiva,rezulta ca este inversabila si aflam usor inversa ei :=\frac{1-x}{1+x},g^{-1}:\left ( 0,+infinit \right )\rightarrow \left ( -1,1 \right ))
Atunci:=\frac{1-\frac{2}{1001000}}{1+\frac{2}{1001000}}=\frac{1000998}{1001002}=\frac{500499}{500501})
si raspunsul corect ar fi B)
Fie
Aratam usor ca imaginea functiei este egala cu codomeniul,deci functia g este surjectiva.Din g injectiva si surjectiva rezulta ca g este bijectiva
si cum
rezulta ca g este morfism.Din g morfism si g bijectiva rezulta ca g este izomorfism de la grupul
Din
Din g bijectiva,rezulta ca este inversabila si aflam usor inversa ei :
Atunci:
Re: UTCN 311-312
Dacă f(x,y) este lege de compoziție pe (-1; 1), atunci =\frac{(a-b)x}{1-x^2}\in (-1;1)\Rightarrow \lim_{x\to 1\\x<1}f(x,-x)\in [-1;1].)
Dar limita este infinită dacă a și b sunt diferite, deci în acest caz f nu este lege de compoziție pe (-1; 1). Rămâne de ales între A. și D.
Pentru a=b=2,=\frac{2}{\frac{5}{4}}>1)
, deci rămâne D.
Dar limita este infinită dacă a și b sunt diferite, deci în acest caz f nu este lege de compoziție pe (-1; 1). Rămâne de ales între A. și D.
Pentru a=b=2,