numere rationale

adinna · Mesaj de **adinna** » 18 Mar 2018, 19:16

Fie a,b,c numere rationale cu proprietatea ca

$\frac{1}{a+bc}$ + $\frac{1}{b+ac}$ = $\frac{1}{a+b}$

Sa se arate ca numarul $\sqrt{c-3/c+1}$ este rational.

Va rog, daca se poate sa ma ajutati cu o idee.

Mesaj de **gigelmarga** » 18 Mar 2018, 20:50

adinna scrie: ↑
18 Mar 2018, 19:16
Fie a,b,c numere rationale cu proprietatea ca

$\frac{1}{a+bc}$ + $\frac{1}{b+ac}$ = $\frac{1}{a+b}$

Sa se arate ca numarul $\sqrt{c-3/c+1}$ este rational.

Va rog, daca se poate sa ma ajutati cu o idee.

Ideea e că, astfel formulat, exercițiul e greșit. Ia $a=b=1,c=3.$

adinna · Mesaj de **adinna** » 18 Mar 2018, 22:32

Imi cer scuze, am scris gresit, radicalul e din $\frac{c-3}{c+1}$

adinna · Mesaj de **adinna** » 19 Mar 2018, 19:05

Nu poate nimeni sa ma ajute?

Mesaj de **gigelmarga** » 19 Mar 2018, 22:21

adinna scrie: ↑
19 Mar 2018, 19:05
Nu poate nimeni sa ma ajute?

Pentru mine, problema e că am consumat ceva timp ca să văd că enunțul era greșit, iar pe de altă parte, nu pot fi sigur că restul enunțului e ok. Nu am chef să pierd timp gândindu-mă la asta.
Dar sigur, te va ajuta cineva...

Integrator · Mesaj de **Integrator** » 20 Mar 2018, 06:55

adinna scrie: ↑
18 Mar 2018, 19:16
Fie a,b,c numere rationale cu proprietatea ca

$\frac{1}{a+bc}$ + $\frac{1}{b+ac}$ = $\frac{1}{a+b}$

Sa se arate ca numarul $\sqrt{c-3/c+1}$ este rational.

Va rog, daca se poate sa ma ajutati cu o idee.

Bună dimineața,

Care este sursa problemei?
-----------------------------------------------------------------------------
Variantă de problemă:

Fie $a,b,c$ numere raționale cu proprietatea că $\frac{1}{a+bc}+\frac{1}{b+ac}+\frac{1}{c+ab} = \frac{1}{a+b+c}$ .Să se arate că numărul $\sqrt{\frac{c-4}{c+1}}$ este rațional.

Toate cele bune,

Integrator

adinna · Mesaj de **adinna** » 20 Mar 2018, 12:52

Multumesc pentru ajutor!

Mesaj de **ghioknt** » 20 Mar 2018, 21:33

Prin eliminarea numitorilor se arată că relația din enunț, împreună cu condițiile de existență subînțelese, este echivalentă cu oricare dintre relațiile $ab=\left ( \frac{a+b}{c-1} \right )^2\;sau\;(c-1)^2=\left ( \frac{a+b}{\sqrt{ab}} \right )^2$
Prima relație ne spune că dacă a, b, c sunt numere raționale care îndeplinesc relația din enunț, atunci produsul ab este pozitiv (a și b au același semn), iar $\sqrt{ab}$ este tot număr rațional.
Din a doua variantă deducem că $c-1=\pm \frac{a+b}{\sqrt{ab}}$
O să iau, de exemplu, varianta cu minus.
$c-3=-\frac{a+b}{\sqrt{ab}}-2=\frac{-a-b-2\sqrt{ab}}{\sqrt{ab}};\;c+1=-\frac{a+b}{\sqrt{ab}}+2=\frac{-a-b+2\sqrt{ab}}{\sqrt{ab}}\\\frac{c-3}{c+1}=\frac{a+b+2\sqrt{ab}}{a+b-2\sqrt{ab}}=\frac{(a+b+2\sqrt{ab})^2}{(a+b)^2-4ab}=\frac{(a+b+2\sqrt{ab})^2}{(a-b)^2}$
De unde $\sqrt{\frac{c-3}{c+1}}=|\frac{a+b+2\sqrt{ab}}{a-b}|$ .

mihaimath · Mesaj de **mihaimath** » 21 Mar 2018, 16:29

Domnule ghioknt , daca a=3 si b=1, $\frac{a+b+2\sqrt{ab}}{a-b}$ = $\frac{4+2\sqrt{3}}{2}$ = 2+ $\sqrt{3}$

care este irational
Am ajuns si eu la acest rezultat dar cred ca mai trebuie prelucrat.

Mesaj de **gigelmarga** » 21 Mar 2018, 19:35

mihaimath scrie: ↑
21 Mar 2018, 16:29
daca a=3 si b=1, $\frac{a+b+2\sqrt{ab}}{a-b}$ = $\frac{4+2\sqrt{3}}{2}$ = 2+ $\sqrt{3}$

Dacă a=1 și b=3, atunci din relația dată c rezultă irațional, ceea ce contrazice ipoteza, nu?

mihaimath · Mesaj de **mihaimath** » 21 Mar 2018, 20:16

Eu doar am spus ca $\frac{a+b+2\sqrt{ab}}{a-b}$ nu este rationala pentru orice numere rationale a si b deci mai trebuie demonstrat ca $\frac{a+b+2\sqrt{ab}}{a-b}$ este rational pentru orice numere rationale a si b care verifica relatia initiala

Mesaj de **gigelmarga** » 21 Mar 2018, 22:43

mihaimath scrie: ↑
21 Mar 2018, 20:16
Eu doar am spus ca $\frac{a+b+2\sqrt{ab}}{a-b}$ nu este rationala pentru orice numere rationale a si b

Evident că nu este. Este rațională doar pentru acele perechi (a,b) pentru care există c rațional astfel ca 1/(a+bc)+1/(b+ca)=1/(a+b).

Exemplul a=3 și b=1 nu e bun.

Mesaj de **ghioknt** » 21 Mar 2018, 23:03

mihaimath scrie: ↑
21 Mar 2018, 20:16
Eu doar am spus ca $\frac{a+b+2\sqrt{ab}}{a-b}$ nu este rationala pentru orice numere rationale a si b deci mai trebuie demonstrat ca $\frac{a+b+2\sqrt{ab}}{a-b}$ este rational pentru orice numere rationale a si b care verifica relatia initiala

Într-adevar, eu am demonstrat numai despre $\sqrt{ab}$ ca este rațional (pentru orice numere raționale a și b care verifică relația inițială), și mi s-a părut suficient.
Întrebarea mea, și a lui gigelmarga, este: cum ai demonstrat ca a=3 și b=1 verifică relația inițială?

mihaimath · Mesaj de **mihaimath** » 22 Mar 2018, 15:30

Eu nu am vazut ca ati demonstrat ca $\sqrt{ab}$ este rational. Am inteles, va multumesc mult!

Integrator · Mesaj de **Integrator** » 25 Mar 2018, 20:12

mihaimath scrie: ↑
22 Mar 2018, 15:30
Eu nu am vazut ca ati demonstrat ca $\sqrt{ab}$ este rational. Am inteles, va multumesc mult!

Bună seara,

Rezolvarea Profesorului "ghioknt" este corectă , dar un elev de clasa VIII-a nu știu ce va înțelege dacă nu se va face o rezolvare completă a problemei fie cu sau fără ajutorul unui profesor de matematică.
Din relația din enunț rezultă că pentru $a=b$ obținem $c=3$ iar din relația $\sqrt{\frac{c-3}{c+1}}=|\frac{a+b+2\sqrt{ab}}{a-b}|$ rezultă că pentru $a=b$ si $c=3$ obținem $0=\infty$ ceea ce este absurd.Calculând direct rezultă că pentru $c=3$ obținem $\sqrt{\frac{c-3}{c+1}}=0$ ceea ce este corect.Ce obținem pentru $c<-1$ sau altfel spus există numere raționale $c<-1$ care verifică relația din enunț și care să implice raționalitatea numărului $\sqrt{\frac{c-3}{c+1}}$ ?Evident că există dar trebuie arătate condițiile ce ar rezulta pentru $a$ și $b$ din $c-1=\pm \frac{a+b}{\sqrt{ab}}$ .Pentru $-1<c<3$ există soluții?Pentru $c>3$ există soluții?
----------------------------------------------
La nivel de clasa VIII-a mi se pare că problema este dificilă și deci se impune o rezolvare completă.Tocmai de aceea am cerut să se specifice sursa problemei.

Tote cele bune,

Integrator

Mesaj de **ghioknt** » 26 Mar 2018, 20:37

Integrator scrie: ↑
25 Mar 2018, 20:12

Rezolvarea Profesorului "ghioknt" este corectă

Domnule Integrator, trebuie să vă contrazic și de data asta. Rezolvarea mea contine o greșeală, și cred că este instructiv pentru toți cei interesați să vadă unde a apărut ea.
Eu am scris de la început că voi subînțelege că toate condițiile de existență necesare în această problemă sunt îndeplinite (e vorba de numitori). În cazul particular a=b, pe care ați binevoit să-l analizați, singura valoare admisibilă pentru c rămâne 3, deci este exclus ca numitorul c+1 să fie nul. Asta înseamnă că atunci când scriu
$c+1=\frac{-a-b+2\sqrt{ab}}{\sqrt{ab}}$ este exclus să avem a=b>0 în fracția din dreapta. Rămâne însă posibilitatea a=b<0, caz în care expresia $a+b+2\sqrt{ab}$ este 0. Acesta este cazul în care este
greșit să scriu $\frac{a+b+2\sqrt{ab}}{a+b-2\sqrt{ab}}=\frac{(a+b+2\sqrt{ab})^2}{(a+b)^2-4ab}$
căci înseamnă că am amplificat cu 0. Corect era să amplific cu numitorul:
$\frac{a+b+2\sqrt{ab}}{a+b-2\sqrt{ab}}=\frac{(a+b)^2-4ab)^2}{(a+b-2\sqrt{ab})^2},\;\sqrt{\frac{c-3}{c+1}}=|\frac{a-b}{a+b-2\sqrt{ab}}|$ .
Acesta mi se pare rezultatul corect, valabil și în cazul în care a și b sunt egale și negative.

Integrator · Mesaj de **Integrator** » 28 Mar 2018, 07:51

ghioknt scrie: ↑
26 Mar 2018, 20:37

Integrator scrie: ↑
25 Mar 2018, 20:12

Rezolvarea Profesorului "ghioknt" este corectă
Domnule Integrator, trebuie să vă contrazic și de data asta. Rezolvarea mea contine o greșeală, și cred că este instructiv pentru toți cei interesați să vadă unde a apărut ea.
Eu am scris de la început că voi subînțelege că toate condițiile de existență necesare în această problemă sunt îndeplinite (e vorba de numitori). În cazul particular a=b, pe care ați binevoit să-l analizați, singura valoare admisibilă pentru c rămâne 3, deci este exclus ca numitorul c+1 să fie nul. Asta înseamnă că atunci când scriu
$c+1=\frac{-a-b+2\sqrt{ab}}{\sqrt{ab}}$ este exclus să avem a=b>0 în fracția din dreapta. Rămâne însă posibilitatea a=b<0, caz în care expresia $a+b+2\sqrt{ab}$ este 0. Acesta este cazul în care este
greșit să scriu $\frac{a+b+2\sqrt{ab}}{a+b-2\sqrt{ab}}=\frac{(a+b+2\sqrt{ab})^2}{(a+b)^2-4ab}$
căci înseamnă că am amplificat cu 0. Corect era să amplific cu numitorul:
$\frac{a+b+2\sqrt{ab}}{a+b-2\sqrt{ab}}=\frac{(a+b)^2-4ab)^2}{(a+b-2\sqrt{ab})^2},\;\sqrt{\frac{c-3}{c+1}}=|\frac{a-b}{a+b-2\sqrt{ab}}|$ .
Acesta mi se pare rezultatul corect, valabil și în cazul în care a și b sunt egale și negative.

Bună dimineața,

Rezolvarea Dvs. , ca idee având în vedere varianta $c-1=-\frac{a+b}{\sqrt{ab}}$ , a fost corectă și eu nu am făcut decât să observ că Dvs. , nespunând nimic despre cazul $a=b$ am făcut o analiză suplimentară fără a observa că pe lângă condiția $\sqrt{ab} \in \mathbb Q^*$ trebuie ca $a<0$ și $b<0$ în caz contrar ajungem la aberații.Dacă avem în vedere varianta $c-1=+\frac{a+b}{\sqrt{ab}}$ , atunci pe lângă condiția $\sqrt{ab} \in \mathbb Q^*$ trebuie ca $a>0$ și $b>0$ și care conduce la relația $\sqrt{\frac{c-3}{c+1}}=\frac{a+b-2\sqrt{ab}}{a+b+2\sqrt{ab}}$ care este valabilă și pentru $a=b$ și implicit $c=3$ .
Concluzia este că în cazul unor anumite probleme mai dificile rezolvarea trebuie să fie clară și completă altfel mulți elevi sau mulți dintre cei intersați de o anumită problemă să înțeleagă gresit sau să nu înțeleagă nimic din raționamentul dat de unul sau altul dintre utilizatorii de pe forum.Mulțumesc mult pentru completarea făcută.

Toate cele bune,

Integrator

Forum AniDeȘcoală.ro

numere rationale

numere rationale

Re: numere rationale

Re: numere rationale

Re: numere rationale

Re: numere rationale

Re: numere rationale

Re: numere rationale

Re: numere rationale

Re: numere rationale

Re: numere rationale

Re: numere rationale

Re: numere rationale

Re: numere rationale

Re: numere rationale

Re: numere rationale

Re: numere rationale

Re: numere rationale