Problema analiza

RazvanInfo · Mesaj de **RazvanInfo** » 05 Mar 2018, 01:07

Salut, imi tot da batai de cap problema numarul 12, am tot inercat sa o fac insa nu-mi iasa deloc...Aveti o sugestie ?

Am rezolvat(partial) integrala si ajung la relatia:

$x(lnx)^{n} - n\int (lnx)^{^{n-1}}dx$

Integrator · Mesaj de **Integrator** » 05 Mar 2018, 08:19

RazvanInfo scrie: ↑
05 Mar 2018, 01:07
Salut, imi tot da batai de cap problema numarul 12, am tot inercat sa o fac insa nu-mi iasa deloc...Aveti o sugestie ?

Am rezolvat(partial) integrala si ajung la relatia:

$x(lnx)^{n} - n\int (lnx)^{^{n-1}}dx$

Bună dimineața,

O idee:
Calculați integrala nedefinită prin inducție matematică și veți găsi că $\int (\ln{x})^n dx=x\big [ (\ln{x})^n-n(\ln{x})^{n-1}+n(n-1)(\ln{x})^{n-2}-n(n-1)(n-2)(\ln{x})^{n-3}+ .....+(-1)^{n-1}\cdot n!\cdot \ln{x}+(-1)^n\cdot n!]$ .

Toate cele bune,

Integrator

Mesaj de **gigelmarga** » 05 Mar 2018, 16:14

Cu schimbarea de variabilă $\ln x=t$ integrala devine $\int_{\ln2}^1 t^n e^tdt$ și apoi, $\frac{t^{n+1}}{n+1}e^t |_{\ln2}^1-\frac{1}{n+1}\int_{\ln2}^1t^{n+1}e^tdt.$

Prin urmare, $n\int_{\ln2}^1\ln^nxdx=\frac{n}{n+1}(e-\ln^n2)-\frac{n}{n+1}\int_{\ln2}^1t^{n+1}e^tdt.$

Se poate arăta relativ ușor că ultima integrală tinde la 0, deci limita cerută este egală cu $e.$

RazvanInfo · Mesaj de **RazvanInfo** » 06 Mar 2018, 12:49

Am inteles, multumesc foarte mult pentru ajutorul acordat.

Forum AniDeȘcoală.ro

Problema analiza

Problema analiza

Re: Problema analiza

Re: Problema analiza

Re: Problema analiza