2.Se considera functiile f,f
matrice+f.derivabila
matrice+f.derivabila
1.Fie A)
o matrice inversabila. Sa se demonstreze ca :
(trA^{-1})I_2-(trA^{-1})A-(trA)A^{-1})\geq 0})
2.Se considera functiile f,f
continue pe [a,b] si derivabile pe (a,b),astfel incat \neq 0\forall x\in (a,b))
.Sa se demonstreze ca exista )
cu proprietate ca:
}{g'(c)}=\dfrac{1}{g(a)-g(c)}+\dfrac{1}{g(b)-g(c)} })
2.Se considera functiile f,f
-
gigelmarga
- profesor
- Mesaje: 1532
- Membru din: 21 Oct 2014, 11:31
Re: matrice+f.derivabila
"
2) Un utilizator poate face cel mult două solicitări de rezolvare pe zi. Este interzis a include mai multe exerciţii sau probleme într-o singură solicitare. Sunt permise problemele cu mai multe cerinţe numai în situaţia în care rezolvarea unei cerinţe este esenţială în rezolvarea alteia.
3) La fiecare "solicitare de rezolvare" va trebui menţionată sursa de provenienţă a problemei. În cazul cărţilor - manuale, culegeri, etc - se va indica titlul, anul apariţiei, editura, numele unui autor şi numărul paginii. Pentru problemele din reviste precizaţi numele revistei, numărul/anul, pagina, autorul problemei. În alte (mult mai rare) situaţii, veţi da suficiente detalii asupra împrejurării în care v-aţi întâlnit cu acea problemă."
2) Un utilizator poate face cel mult două solicitări de rezolvare pe zi. Este interzis a include mai multe exerciţii sau probleme într-o singură solicitare. Sunt permise problemele cu mai multe cerinţe numai în situaţia în care rezolvarea unei cerinţe este esenţială în rezolvarea alteia.
3) La fiecare "solicitare de rezolvare" va trebui menţionată sursa de provenienţă a problemei. În cazul cărţilor - manuale, culegeri, etc - se va indica titlul, anul apariţiei, editura, numele unui autor şi numărul paginii. Pentru problemele din reviste precizaţi numele revistei, numărul/anul, pagina, autorul problemei. În alte (mult mai rare) situaţii, veţi da suficiente detalii asupra împrejurării în care v-aţi întâlnit cu acea problemă."
Re: matrice+f.derivabila
La 1, fie 
si 
. Daca )
, atunci )
. Observam atunci ca )
.
Din relatia Cayley-Hamilton. avem
, de unde, inmultind cu 
, deducem )
.
Inlocuind relatiile (1) si (2) in determinantul cerut, obtinem ca el e egal cu
.
Din relatia Cayley-Hamilton. avem
Inlocuind relatiile (1) si (2) in determinantul cerut, obtinem ca el e egal cu
Re: matrice+f.derivabila
La 2.. as fi curios sa vad o rezolvare mai eleganta, dar:
Mai intai, sa observam ca\neq 0,\forall x)
implica, deoarece 
are proprietatea lui Darboux (fiind o derivata), ca are semn constant, deci 
e strict monotona, deci injectiva. Cum 
-ul din discutie e diferit de )
, rezulta ca expresia din membrul drept are sens pentru orice .
Aducand la acelasi numitor obtinem:
(g(a)+g(b)-2g(c)) = f'(c)(g(a)-g(c))(g(b)-g(c)))
sau(g(a)+g(b)) - (g^2(c))' = f'(c)(g(a)g(b) - g(c)(g(a)+g(b))+g^2(c)))
Sa observam ca expresia din membrul stang si expresia formata din ultimii 2 termeni ai parantezei din membrul drept seamana. Intr-adevar, daca notam=g(x)(g(a)+g(b))-g^2(x))
, putem rescrie egalitatea ca:
=f'(c)(g(a)g(b)-h(c)))
. Mai departe, notand g(b))
, aceasta se poate scrie ca:
=f'(c)(k-h(c))
sau +f'(c)h(c)=kf'(c))
.
Expresia din membrul stang aduce aminte de smecheria cu
, utila pentru a rezolva ecuatii de genul 
.
Astfel, putem observva ca}h(c)]' = e^{f(c)}(h'(c)+f'(c)h(c)))
. Inmultind egalitatea la care ne oprisem anterior cu })
, observam ca si in membrul drept ne apare chiar }]')
, deci avem:
}h(c)]' = k[e^{f(c)}]')
. Ei bine, notand =e^{f(x)}h(x))
si =e^{f(x)})
, egalitatea anterioara e =kG'(c))
.
Sa observam ceva interesant: deoarece=g(x)(g(a)+g(b)-g(x)))
, avem =h(b)=g(a)g(b)=k)
.
Finalizarea 1:
Relatia se scrie-kG(c))' = 0)
. Considerand =H(x)-kG(x) = e^{f(x)}(h(x)-k))
, observam ca =0)
si =0)
, deci =p(b))
si atunci, din teorema lui Rolle, problema e gata.
Finalizarea 2 (doar asa, ca idee, dar e cam degeaba pentru ca utilizeaza Finalizarea 1 pentru unul din cazuri):
Daca observam ca si , putem vedea ca -H(a)}{G(b)-G(a)})
e exact -G(A))}{G(b)-G(a)}=k)
. Deci, ca sa finalizam:
Functiile
sunt continue pe 
si derivabile pe . Aplicand teorema lui Cauchy, rezulta ca exista astfel incat:
(G(b)-G(a))=G'(c)(H(b)-H(a)))
, care e echivalent cu
(e^{f(b)}-e^{f(a)})=kG'(c)(e^{f(b)}-e^{f(a)}))
Daca\neq f(b))
, am terminat.
Daca=f(b))
, nu am gasit alta modalitatea sa continui decat considerand functia 
de la Finalizarea 1...
Mai intai, sa observam ca
Aducand la acelasi numitor obtinem:
sau
Sa observam ca expresia din membrul stang si expresia formata din ultimii 2 termeni ai parantezei din membrul drept seamana. Intr-adevar, daca notam
Expresia din membrul stang aduce aminte de smecheria cu
Astfel, putem observva ca
Sa observam ceva interesant: deoarece
Finalizarea 1:
Relatia se scrie
Finalizarea 2 (doar asa, ca idee, dar e cam degeaba pentru ca utilizeaza Finalizarea 1 pentru unul din cazuri):
Daca observam ca
Functiile
Daca
Daca
Teorema lui Rolle
Se aplică teorema lui Rolle funcției =e^{f(x)}[g^2(x)-(g(a)+g(b))g(x)+g(a)g(b)])
.
Re: matrice+f.derivabila
Si eu am ajuns la acea functie ^_^. Cum ati reusit sa ajungeti la ea? Mie mi-a luat ceva, as fi curios sa vad alta idee de a o gasi.
NOTA:: Functia
mentionata de ghioknt e functia (sau, poate, 
, nu am verificat exact) din postarea mea de mai sus.
PRECIZARE: Postarea mea de mai sus e lunga, dar o solutie pentru aceasta problema se poate redacta scurt, cum a precizat domnul ghioknt. Postarea de mai sus e asa lunga pentru ca arata cum se poate ajunge la functia care rezolva problema prin aplicarea teoremei lui Rolle.
NOTA:: Functia
PRECIZARE: Postarea mea de mai sus e lunga, dar o solutie pentru aceasta problema se poate redacta scurt, cum a precizat domnul ghioknt. Postarea de mai sus e asa lunga pentru ca arata cum se poate ajunge la functia
Re: matrice+f.derivabila
Buna ziua
Cât pe ce să nu observ întrebarea dumneavoastră. Eu pur și simplu am eliminat numitorii, am scris relația obținută așa: f'(c)[g^2(c)-(g(a)+g(b))g(c)+g(a)g(b)] +[2g(c)g'(c)-(g(a)+g(c))g'(c)]=0, și m-am întrebat: a cui derivată o fi expresia asta care se anulează în punctul intermediar c? Am intuit că este derivata unui produs din care lipsea ceva, acea exponențială pe care, fie o derivezi, fie nu, tot aia e. Apoi am verificat dacă h(a)=h(b).
Cam dezamăgitor răspunsul meu, nu e nimic de învățat din el
Re: matrice+f.derivabila
Ce simplu era,multumesc mult!
Apreciez totusi ca ati avut bunavointa sa imi scrieti o rezolvare(oricat de banala e,nu conteaza),spre deosebire de altii care nu stiu sa faca altceva decat sa-mi atraga atentia ca iar nu am facut ceva bine.ghioknt scrie: ↑01 Mar 2018, 16:59Buna ziua
Cât pe ce să nu observ întrebarea dumneavoastră. Eu pur și simplu am eliminat numitorii, am scris relația obținută așa: f'(c)[g^2(c)-(g(a)+g(b))g(c)+g(a)g(b)] +[2g(c)g'(c)-(g(a)+g(c))g'(c)]=0, și m-am întrebat: a cui derivată o fi expresia asta care se anulează în punctul intermediar c? Am intuit că este derivata unui produs din care lipsea ceva, acea exponențială pe care, fie o derivezi, fie nu, tot aia e. Apoi am verificat dacă h(a)=h(b).
Cam dezamăgitor răspunsul meu, nu e nimic de învățat din el
