se considera matricea patratica de ordin 2
A= limia I: 3 -6
linia II: 1 -2
sa se calculeze tr [(A+I)(A+2I)(A+3I)...(A+2018I)] , undde I este matricea unitate de ordin 2
matrice nesingulara
Re: matrice nesingulara
Cu teorema Hamilton-cayley arăți că matricea e idempotenta( adică A^2=A) , apoi spargi parantezele și iti dai seama de regulă. O să îți dea ceva cu factorial. Să îmi zici dacă îți iese.
Re: matrice nesingulara
Nu stiu daca am inteles bine ideea, dar inspirandu-ma din ce ati scris, am considerat un sir
Avem
Bazandu-ne tot pe ce a zis Bjarn3 legat de factorial, observam ca regula pare a fi
Demonstram prin inductie: Am verificat cazul de baza
Deci,
Re: matrice nesingulara
Răspuns corect ! 
)
)
Re: matrice nesingulara
Îmi permit să scriu și altă abordare, poate interesează pe cineva. Fie polinomul matricial
=(A-I_2)(A-2I_2)...(A-nI_2)=c_nA^n+c_{n-1}A^{n-1}+...+c_1A+c_0I_2.)
Știind că, în general,=aTr(A)+bTr(B),)
iar, în particular, =Tr(A)=1:\\Tr(f(A))=c_n+c_{n-1}+...+c_1+2c_0.)
Funcția polinomială reală=(x+1)(x+2)...(x+n)=c_nx^n+c_{n-1}x^{n-1}+...+c_1x+c_0)
,
cu exact aceeași coeficienți ca și polinomul f, ne dă:
=(n+1)!\;si\;c_0=n!,\;deci\;\\Tr(f(A))=(n+1)!+n!.)
Știind că, în general,
Funcția polinomială reală
cu exact aceeași coeficienți ca și polinomul f, ne dă:
-
Green eyes
- veteran
- Mesaje: 1088
- Membru din: 17 Apr 2012, 10:49
- Localitate: Timişoara
Re: matrice nesingulara
Bună seara,
Din păcate, enunțul scris de Ada2014 este greșit, în loc de tr[(A+I)(A+2I)(A+3I)...(A+2018I)], cerința este pentru:
(I_2+2A)(I_2+3A)\ldots(I_2+2018A)])
Sperăm să nu fi greșit la fel și la admitere.
Green eyes.
Din păcate, enunțul scris de Ada2014 este greșit, în loc de tr[(A+I)(A+2I)(A+3I)...(A+2018I)], cerința este pentru:
Sperăm să nu fi greșit la fel și la admitere
.Green eyes.