Salut!
Stiu ca in regulament scrie ca e interzisa " solicitarea de rezolvare a problemelor care fac parte dintr-un concurs aflat în derulare. ", in cazul acesta fiind vorba de Gazeta Matematica asa ca daca deranjeaza pe cineva, voi sterge postarea.
Nu particip la acest concurs, m-as bucura doar sa reusesc sa rezolv toate problemele din gazetele recente, doarece la olimpiada locala si judeteana de matematica, unul dintre subiecte este chiar o problema dintr-o gazeta si mi-ar fi de folos sa o pot rezolva astfel in timp util.
Am nevoie de o idee de pornire la urmatoarea problema din Gazeta Matematica nr 11/2017:
Fie numerele complexe nenule astfel incat numerele reale sa aiba acelasi semn, iar z sa verifice egalitatea
Sa se arate ca z este real daca si numai daca |a|=1.
Numere complexe:parte imaginara, egalitate
-
- utilizator
- Mesaje: 39
- Membru din: 22 Ian 2017, 13:30
- Localitate: Romania
Re: Numere complexe:parte imaginara, egalitate
Buna seara,
Din pacate, enuntul pare gresit, pentru ca daca avem, sa zicem, si , atunci egalitatea se verifica pentru orice (cu alese cu parti imaginare potrivite) penru ca, fiind real, .
Ce vreau sa zic e ca exista numere cu proprietatile date si si , deci nu e valabila concluzia.
Din pacate, enuntul pare gresit, pentru ca daca avem, sa zicem, si , atunci egalitatea se verifica pentru orice (cu alese cu parti imaginare potrivite) penru ca, fiind real, .
Ce vreau sa zic e ca exista numere cu proprietatile date si si , deci nu e valabila concluzia.
Re: Numere complexe:parte imaginara, egalitate
Eu interpretez că enunțul interzice ca , deci nici un a_i nu poate fi real.
Fie .
. Dacă z nu este real, atunci P se află de aceeași parte a axei Ox cu toate punctele A_k sau cu toate punctele A'_k. Deci toate rapoartele din produs sunt, fie subunitare, fie supraunitare. Înseamnă că dacă |a|=1, atunci z este real și reciproc, dacă z este real, toate rapoartele sunt 1.
Fie .
. Dacă z nu este real, atunci P se află de aceeași parte a axei Ox cu toate punctele A_k sau cu toate punctele A'_k. Deci toate rapoartele din produs sunt, fie subunitare, fie supraunitare. Înseamnă că dacă |a|=1, atunci z este real și reciproc, dacă z este real, toate rapoartele sunt 1.
-
- utilizator
- Mesaje: 39
- Membru din: 22 Ian 2017, 13:30
- Localitate: Romania
Re: Numere complexe:parte imaginara, egalitate
Nu sunt sigur ca am inteles tot cum trebuie, deci am cateva intrebari, daca nu va suparati:
1) A este de fapt M? Nu este introdusa nicaieri notatia cu A deci am presupus atunci ca e acelasi lucru
2) din , este lungimea segmentului ?
3)
Dar nu mi-e 100% clar de ce asta ar insemna ca toate rapoartele din produs sunt, fie subunitare, fie supraunitare.
1) A este de fapt M? Nu este introdusa nicaieri notatia cu A deci am presupus atunci ca e acelasi lucru
2) din , este lungimea segmentului ?
3)
Asta reiese din " sa aiba acelasi semn "? Mie asta imi sugereaza faptul ca toate punctele se afla pe aceeasi parte a dreptei OX si toate punctele se afla pe cealalta parte a lui OX. Iar daca z nu e real, P nu va fi pe OX, deci va fi ori deasupra lui OX, ori dedesubt.
Dar nu mi-e 100% clar de ce asta ar insemna ca toate rapoartele din produs sunt, fie subunitare, fie supraunitare.
Re: Numere complexe:parte imaginara, egalitate
Îmi cer scuze că nu am oservat la timp postarea ta cu întrebări. Bănuiesc că între timp ți-ai răspuns singur la ele.
Da, ai înțeles bine și scăparea mea de a începe cu M și a continua cu A și cine sunt lungimile
Ține cont că axa Ox este mediatoarea unui segment cum este dacă și P sunt de aceeași parte a axei Ox, înseamnă că piciorul perpendicularei din P pe dreapta este mai apropiat de primul. Când eram mic, profesorul meu insista: dintre 2 oblice față de o dreaptă, duse din același punct P, mai lungă este aceea al cărei picior (de pe dreaptă) este mai depărtat față de piciorul perpendicularei. Drept care, e rândul meu acum să te bat la cap să tragi sigur concluziile: și la fel pentru oricare k.
Da, ai înțeles bine și scăparea mea de a începe cu M și a continua cu A și cine sunt lungimile
Ține cont că axa Ox este mediatoarea unui segment cum este dacă și P sunt de aceeași parte a axei Ox, înseamnă că piciorul perpendicularei din P pe dreapta este mai apropiat de primul. Când eram mic, profesorul meu insista: dintre 2 oblice față de o dreaptă, duse din același punct P, mai lungă este aceea al cărei picior (de pe dreaptă) este mai depărtat față de piciorul perpendicularei. Drept care, e rândul meu acum să te bat la cap să tragi sigur concluziile: și la fel pentru oricare k.
-
- utilizator
- Mesaje: 39
- Membru din: 22 Ian 2017, 13:30
- Localitate: Romania
Re: Numere complexe:parte imaginara, egalitate
Multumesc mult, am inteles