matrice+limite

Bjarn3 · Mesaj de **Bjarn3** » 01 Feb 2018, 14:23

$1.\text{Fie }A\in M_2(\mathbb{N}),\text{astfel incat }A^{2019}=A^{2018}+A^{2017}\neq O_2.\text{Pentru orice } n\in \mathbb{N} \text{se noteaza}\\ \text{cu }s_n\text{ suma elementelor matricei }A^n.\text{Sa se arate ca }s_n=F_{n+3}\forall n\in \mathbb{N},\text{ unde }(F_n)_{n\geq 1}\\ \text{este sirul lui Fibonacci:}\\ F_0=0,\ F_1=1, ~~F_{n+1}=F_{n}+F_{n-1},\forall n\geq 1.$

$2.\text{Se considera sirurile }(a_n)_{n\geq 2}\text{ si }(b_n)_{n\geq 2}\text{ definite prin:}\\ a_n=\sqrt{1+\sqrt{2+\ldots \sqrt{n}}}\\ b_n=\sqrt{1+\sqrt{2+\ldots \sqrt{n+\sqrt{2(n+1)}}}}\\ \text{pentru orice }n\geq 2.\text{Sa se arate ca:}\\ \displaystyle\lim\limits_{n\to \infty}[10a_n]=\displaystyle\lim\limits_{n\to \infty}[10b_n]=17, \\ \text{unde [x] este partea intreaga a numarului real x.}$

Va rog mult de tot,pana maine !!!

Mesaj de **ghioknt** » 01 Feb 2018, 21:07

1. Evident, $A\neq O_2.$
Dacă presupun că det(A)=0, atunci $A^2=tA\Rightarrow A^n=t^{n-1}A$ , t este urma matricei A, deci număr natural.
Ipoteza conduce la $t^2-t-1=0$ , ecuație care nu are soluții naturale.
Înseamnă că A este inversabilă și din relația din ipoteză deduci $A^2-A-I_2=O_2$ , apoi $A^{n+2}=A^{n+1}+A^n$ pentru orice n.
Mai departe, inducție .
2. Șirul $(a_n)$ este crescător și $a_4=\sqrt{1+\sqrt{2+\sqrt{3+\sqrt{4}}}}>\sqrt{1+\sqrt{2+2}}=\sqrt{3}>1.7$
Șirul $(b_n)$ este descrescător. Într-adevăr
$b_n>b_{n+1}\Leftrightarrow \sqrt{1+\sqrt{2+...+\sqrt{n+\sqrt{2n+2}}}}>\sqrt{1+\sqrt{2+...+\sqrt{n+\sqrt{n+1+\sqrt{2n+4}}}}}\\2n+2>n+1+\sqrt{2n+4}\Leftrightarrow n^2>3$
$b_2=\sqrt{1+\sqrt{2+\sqrt{6}}}<\sqrt{1+\sqrt{2+2.5}}<\sqrt{1+2.2}<1.8$ este cel mai mare termen.
Pentru $n\geq 4:\;17<10a_n<10b_n<18$ , deci cele 2 șiruri sunt constante și egale cu 17.

Bjarn3 · Mesaj de **Bjarn3** » 02 Feb 2018, 11:01

ghioknt scrie: ↑
01 Feb 2018, 21:07
1. Evident, $A\neq O_2.$
Dacă presupun că det(A)=0, atunci $A^2=tA\Rightarrow A^n=t^{n-1}A$ , t este urma matricei A, deci număr natural.
Ipoteza conduce la $t^2-t-1=0$ , ecuație care nu are soluții naturale.
Înseamnă că A este inversabilă și din relația din ipoteză deduci $A^2-A-I_2=O_2$ , apoi $A^{n+2}=A^{n+1}+A^n$ pentru orice n.
Mai departe, inducție .
2. Șirul $(a_n)$ este crescător și $a_4=\sqrt{1+\sqrt{2+\sqrt{3+\sqrt{4}}}}>\sqrt{1+\sqrt{2+2}}=\sqrt{3}>1.7$
Șirul $(b_n)$ este descrescător. Într-adevăr
$b_n>b_{n+1}\Leftrightarrow \sqrt{1+\sqrt{2+...+\sqrt{n+\sqrt{2n+2}}}}>\sqrt{1+\sqrt{2+...+\sqrt{n+\sqrt{n+1+\sqrt{2n+4}}}}}\\2n+2>n+1+\sqrt{2n+4}\Leftrightarrow n^2>3$
$b_2=\sqrt{1+\sqrt{2+\sqrt{6}}}<\sqrt{1+\sqrt{2+2.5}}<\sqrt{1+2.2}<1.8$ este cel mai mare termen.
Pentru $n\geq 4:\;17<10a_n<10b_n<18$ , deci cele 2 șiruri sunt constante și egale cu 17.

Multumesc mult!

Forum AniDeȘcoală.ro

matrice+limite

matrice+limite

Re: matrice+limite

Re: matrice+limite