Inegalitate cu numere complexe

Glow 'n' Show · Mesaj de **Glow 'n' Show** » 24 Ian 2018, 13:02

Salut! Am o problema, ma poate ajuta cineva cu ideea de plecare pentru ea?
Fie $z_{1},z_{2}\in \mathbb{C}$ cu $|z_{1}|\leq 1$ . Demonstrati ca $(1-Im(z_{1}\cdot z_{2} ))^{2}\geq (|z_{1}|^{2}-1)(|z_{2}|^{2}-1)$ .
Avand in vedere ca se specifica $|z_{1}|\leq 1$ , e clar ca $(|z_{1}|^{2}-1)$ e negativ, asadar daca $|z_{2}|\geq 1$ , membrul drept va fi negativ si cel stang pozitiv, iar inegalitatea este adevarata. Dar nu stiu ce sa aplic in cazul $|z_{2}|\leq 1$ care conduce la faptul ca membrul drept va fi pozitiv. Am incercat sa consider $z_{1}=a+bi$ si $z_{2}=x+yi$ dar nu imi iese nimic bun.

Mesaj de **ghioknt** » 24 Ian 2018, 19:38

Pentru orice număr complex, părțile reală și imaginară, chiar pozitive fiind, nu sunt mai mari decat modulul numărului.
$Im(z_1z_2)\leq |z_1z_2|\Rightarrow 1-Im(z_1z_2)\geq 1-|z_1||z_2|\geq 0$
Atunci $(1-Im(z_1z_2))^2\geq (1-|z_1||z_2|)^2=1+|z_1|^2|z_2|^2-2|z_1||z_2|\geq \\\geq 1+|z_1|^2|z_2|^2-|z_1|^2-|z_2|^2=(|z_1|^2-1)(|z_2|^2-1)$

Glow 'n' Show · Mesaj de **Glow 'n' Show** » 24 Ian 2018, 19:47

Multumesc

grapefruit · Mesaj de **grapefruit** » 15 Noi 2018, 14:51

Nu inteleg de ce 1-[z1][z2] >0.Nu se specifica nimic de modulul lui z2

Mesaj de **ghioknt** » 15 Noi 2018, 23:45

grapefruit scrie: ↑
15 Noi 2018, 14:51
Nu inteleg de ce 1-[z1][z2] >0.Nu se specifica nimic de modulul lui z2

A fost respectată cererea clientului de a considera numai cazul $|z_2|\leq 1.$

grapefruit · Mesaj de **grapefruit** » 16 Noi 2018, 16:00

Foarte clar !

Forum AniDeȘcoală.ro

Inegalitate cu numere complexe

Inegalitate cu numere complexe

Re: Inegalitate cu numere complexe

Re: Inegalitate cu numere complexe

Re: Inegalitate cu numere complexe

Re: Inegalitate cu numere complexe

Re: Inegalitate cu numere complexe