Logaritmi

Radicali. Functia exponentiala si functia logaritmica. Functii trigonometrice si inverse. Numere complexe. Metode de numarare (permutari, aranjamente, combinari, Binomul lui Newton). Matematici financiare. Geometrie: ecuatiile dreptei.
quaintej
utilizator
utilizator
Mesaje: 81
Membru din: 29 Noi 2015, 11:32

Logaritmi

Mesaj de quaintej » 19 Ian 2018, 22:00

Buna seara!
Am o problema :
Fie a,b,c > 1 si . Demonstrati ca a=b=c.
Sugestii? Eu am incercat sa aplic medii, ma gandeam ca de acolo s-ar putea atinge cazul de egalitate in inegalitatea mediilor si sa reiasa apoi a=b=c
Multumesc anticipat!

Integrator
veteran
veteran
Mesaje: 1472
Membru din: 16 Ian 2011, 08:32

Re: Logaritmi

Mesaj de Integrator » 20 Ian 2018, 09:33

quaintej scrie:
19 Ian 2018, 22:00
Buna seara!
Am o problema :
Fie a,b,c > 1 si . Demonstrati ca a=b=c.
Sugestii? Eu am incercat sa aplic medii, ma gandeam ca de acolo s-ar putea atinge cazul de egalitate in inegalitatea mediilor si sa reiasa apoi a=b=c
Multumesc anticipat!
Bună dimineața,

Două idei:

A) Știind că , , , atunci ce semne au acei logaritmi?
1) Presupunând că , atunci ce rezultă?
2) Presupunând că , atunci ce rezultă?
3) Presupunând că , atunci ce rezultă?
---------------------------------
B) Ce soluții poate avea ecuația unde , , ?
---------------------------------------------------
Mai pot fi și alte soluții decât soluția banală ??? :idea:
Toate cele bune,

Intefgrator

gigelmarga
profesor
profesor
Mesaje: 1537
Membru din: 21 Oct 2014, 11:31

Re: Logaritmi

Mesaj de gigelmarga » 20 Ian 2018, 13:24

quaintej scrie:
19 Ian 2018, 22:00
Eu am incercat sa aplic medii, ma gandeam ca de acolo s-ar putea atinge cazul de egalitate in inegalitatea mediilor si sa reiasa apoi a=b=c
Ideea e bună. Încercați așa: .

quaintej
utilizator
utilizator
Mesaje: 81
Membru din: 29 Noi 2015, 11:32

Re: Logaritmi

Mesaj de quaintej » 20 Ian 2018, 20:12

gigelmarga scrie:
20 Ian 2018, 13:24
Ideea e bună. Încercați așa: .
Multumesc, am incercat sa desfac in 2+1 dar in 1+1+1 nu m-am gandit.
Integrator scrie:
20 Ian 2018, 09:33
Două idei:
A) Știind că , , , atunci ce semne au acei logaritmi?
1) Presupunând că , atunci ce rezultă?
2) Presupunând că , atunci ce rezultă?
3) Presupunând că , atunci ce rezultă?
---------------------------------
B) Ce soluții poate avea ecuația unde , , ?
---------------------------------------------------
Mai pot fi și alte soluții decât soluția banală ???
Intefgrator
La solutia A, din primele 2 cazuri reiese ca suma de logaritmi e ori mai mare decat 2, ori mai mica, dar la al 3-lea nu imi dau seama ce ar trebui sa fac...
La solutia B, fiecare radical este o functie strict crescatoare, deci suma lor va fi o alta functie strict crescatoare=> vom avea solutie unica, aceasta fiind x=y=z=1, ceea ce implica a=b=c. Este bine?

Integrator
veteran
veteran
Mesaje: 1472
Membru din: 16 Ian 2011, 08:32

Re: Logaritmi

Mesaj de Integrator » 22 Ian 2018, 09:25

quaintej scrie:
20 Ian 2018, 20:12
gigelmarga scrie:
20 Ian 2018, 13:24
Ideea e bună. Încercați așa: .
Multumesc, am incercat sa desfac in 2+1 dar in 1+1+1 nu m-am gandit.
Integrator scrie:
20 Ian 2018, 09:33
Două idei:
A) Știind că , , , atunci ce semne au acei logaritmi?
1) Presupunând că , atunci ce rezultă?
2) Presupunând că , atunci ce rezultă?
3) Presupunând că , atunci ce rezultă?
---------------------------------
B) Ce soluții poate avea ecuația unde , , ?
---------------------------------------------------
Mai pot fi și alte soluții decât soluția banală ???
Integrator
La solutia A, din primele 2 cazuri reiese ca suma de logaritmi e ori mai mare decat 2, ori mai mica, dar la al 3-lea nu imi dau seama ce ar trebui sa fac...
La solutia B, fiecare radical este o functie strict crescatoare, deci suma lor va fi o alta functie strict crescatoare=> vom avea solutie unica, aceasta fiind x=y=z=1, ceea ce implica a=b=c. Este bine?
Bună dimineața,

A) 1) și 2) Din condițiile impuse de mine rezultă rezolvarea unei ecuații de forma , unde .Ecuația se mai poate scrie sub forma ( și care are doar soluția care verifică ecuația ceea ce implică faptul că și cum atunci rezultă .
A) 3) Cum putem transforma un logaritm într-o anumita bază într-un logaritm în altă bază.
B) Aș dori detalii suplimentare privind raționamentul Dvs..De ce soluția este unică?

Toate cele bune,

Integrator

quaintej
utilizator
utilizator
Mesaje: 81
Membru din: 29 Noi 2015, 11:32

Re: Logaritmi

Mesaj de quaintej » 23 Ian 2018, 19:32

Nu stiu daca am gandit bine, x, y si z depind una de alta, mai exact x*y*z=1
Ma refeream mai mult pe cazul general in care daca avem 3 numere, x,y,z pozitive, fara alta relatie intre ele, functia f(x)=x+3 este strict crescatoare. Functia radical g(x)= este si ea strict crescatoare, x>=0.
Deci compunerea celor doua functii va da o alta functie strict crescatoare.
Se aplica acelasi rationament pentru ceilalti 2 radicali, si vom obtine o suma de 3 functii strict crescatoare, care vor forma o alta functie strict crescatoare. Deci o functie strict crescatoare =o constanta => vom avea maxim o solutie pentru aceasta ecuatie.
Ma scuzati in caz ca am gresit pe undeva..

gigelmarga
profesor
profesor
Mesaje: 1537
Membru din: 21 Oct 2014, 11:31

Re: Logaritmi

Mesaj de gigelmarga » 23 Ian 2018, 21:27

quaintej scrie:
23 Ian 2018, 19:32

Se aplica acelasi rationament pentru ceilalti 2 radicali, si vom obtine o suma de 3 functii strict crescatoare, care vor forma o alta functie strict crescatoare. Deci o functie strict crescatoare =o constanta => vom avea maxim o solutie pentru aceasta ecuatie.
Ma scuzati in caz ca am gresit pe undeva..
Și funcția f(x)=x e strict crescătoare. La fel ca mai sus, deducem că ecuația x+y+z=o constantă are maxim o soluție, nu?

Ați finalizat exercițiul folosind indicația pe care v-am dat-o?

quaintej
utilizator
utilizator
Mesaje: 81
Membru din: 29 Noi 2015, 11:32

Re: Logaritmi

Mesaj de quaintej » 23 Ian 2018, 21:45

gigelmarga scrie:
23 Ian 2018, 21:27
Și funcția f(x)=x e strict crescătoare. La fel ca mai sus, deducem că ecuația x+y+z=o constantă are maxim o soluție, nu?
Am inteles acum unde am gresit, multumesc de observatie.
Si da, am rezolvat exercitiul cu =>
Dupa insumare, se ajunge la pentru care se aplica ma>=mg
Se atinge cazul de egalitate in inegalitatea mediilor deci
Care conduce la a=b=c
Am procedat corect?

gigelmarga
profesor
profesor
Mesaje: 1537
Membru din: 21 Oct 2014, 11:31

Re: Logaritmi

Mesaj de gigelmarga » 23 Ian 2018, 21:54

Da.

quaintej
utilizator
utilizator
Mesaje: 81
Membru din: 29 Noi 2015, 11:32

Re: Logaritmi

Mesaj de quaintej » 23 Ian 2018, 22:01

In regula, multumesc!

Integrator
veteran
veteran
Mesaje: 1472
Membru din: 16 Ian 2011, 08:32

Re: Logaritmi

Mesaj de Integrator » 01 Feb 2018, 08:20

quaintej scrie:
19 Ian 2018, 22:00
Buna seara!
Am o problema :
Fie a,b,c > 1 si . Demonstrati ca a=b=c.
Sugestii? Eu am incercat sa aplic medii, ma gandeam ca de acolo s-ar putea atinge cazul de egalitate in inegalitatea mediilor si sa reiasa apoi a=b=c
Multumesc anticipat!
Buna dimineața,

O rezolvare dată de un profesor:

Se demonstrează ușor că pentru orice iar este binecunoscutul numărul al lui Euler.Inegalitatea se mai poate scrie sub forma unde și deci rezultă că unde , , iar egalitatea presupune si deci asta implică .

Q.E.D.

Toate cele bune,

Integrator

Integrator
veteran
veteran
Mesaje: 1472
Membru din: 16 Ian 2011, 08:32

Re: Logaritmi

Mesaj de Integrator » 01 Feb 2018, 10:34

quaintej scrie:
19 Ian 2018, 22:00
Buna seara!
Am o problema :
Fie a,b,c > 1 si . Demonstrati ca a=b=c.
Sugestii? Eu am incercat sa aplic medii, ma gandeam ca de acolo s-ar putea atinge cazul de egalitate in inegalitatea mediilor si sa reiasa apoi a=b=c
Multumesc anticipat!
Buna dimineața,

O rezolvare dată de un profesor:

Se demonstrează ușor că pentru orice iar este binecunoscutul numărul al lui Euler.Inegalitatea se mai poate scrie sub forma unde și deci rezultă că unde , , iar egalitatea presupune si deci asta implică .

Q.E.D.

P.S. - Am modificat mesajul anterior deoarece am scris greșit în loc cum este de fapt corect.... :oops:

Toate cele bune,

Integrator

Scrie răspuns
  • Subiecte similare
    Răspunsuri
    Vizualizări
    Ultimul mesaj