Fie H ortocentrul triunghiului ascutitunghic ABC si A', B', C' simetricele lui H fata de mijloacele laturilor BC, CA si respectiv AB. Aratati ca daca triunghiurile ABC si A'B'C' au acelasi centru de greutate, atunci triunghiul ABC este echilateral.
Putin ajutor va rog. Multumesc.
Geometrie-vectori-centru de greutate
-
AnaMaria2323
- utilizator
- Mesaje: 41
- Membru din: 21 Ian 2018, 19:07
Re: Geometrie-vectori-centru de greutate
Dacă știi ceva geometrie, atunci știi (sau poți să demonstrezi) că A', B', C' sunt diametral opuse punctelor A, B, C în cercul circumscris triunghiului ABC. Adică triunghiul A'B'C' este simetricul lui ABC față de centrul O al acestui cerc.
Dar atunci și centrele lor de greutate G' și G sunt simetrice față de O. În ipoteza că ele coincid, ele coincid și cu O. Un triunghi în care G și O coincid este echilateral.
Dacă vrei o soluție vectorială, atunci trebuie să ai în vedere următoarele relații, valabile pentru orice punct P din plan.
, pentru că G și G' coincid.
Prin ipoteză, segmentele [HA'] și [BC] au același mijloc; vectorial, asta se scrie
. Adunând această relație cu analoagele ei se obține
)
, din care, 
.
Și din nou, triunghiul în care ortocentrul și centrul de greutate coincid nu poate fi decât echilateral.
Dar atunci și centrele lor de greutate G' și G sunt simetrice față de O. În ipoteza că ele coincid, ele coincid și cu O. Un triunghi în care G și O coincid este echilateral.
Dacă vrei o soluție vectorială, atunci trebuie să ai în vedere următoarele relații, valabile pentru orice punct P din plan.
Prin ipoteză, segmentele [HA'] și [BC] au același mijloc; vectorial, asta se scrie
Și din nou, triunghiul în care ortocentrul și centrul de greutate coincid nu poate fi decât echilateral.