Geometrie-vectori-centru de greutate

Multimi. Logica. Functii si lecturi grafice. Functia de gradul II. Vectori in plan. Trigonometrie. Aplicatii ale trigonometriei.
AnaMaria2323
utilizator
utilizator
Mesaje: 45
Membru din: 21 Ian 2018, 19:07

Geometrie-vectori-centru de greutate

Mesaj de AnaMaria2323 » 21 Ian 2018, 19:41

Fie H ortocentrul triunghiului ascutitunghic ABC si A', B', C' simetricele lui H fata de mijloacele laturilor BC, CA si respectiv AB. Aratati ca daca triunghiurile ABC si A'B'C' au acelasi centru de greutate, atunci triunghiul ABC este echilateral.
Putin ajutor va rog. Multumesc.

ghioknt
profesor
profesor
Mesaje: 1444
Membru din: 09 Apr 2013, 14:56
Localitate: Bucuresti

Re: Geometrie-vectori-centru de greutate

Mesaj de ghioknt » 22 Ian 2018, 16:04

Dacă știi ceva geometrie, atunci știi (sau poți să demonstrezi) că A', B', C' sunt diametral opuse punctelor A, B, C în cercul circumscris triunghiului ABC. Adică triunghiul A'B'C' este simetricul lui ABC față de centrul O al acestui cerc.
Dar atunci și centrele lor de greutate G' și G sunt simetrice față de O. În ipoteza că ele coincid, ele coincid și cu O. Un triunghi în care G și O coincid este echilateral.
Dacă vrei o soluție vectorială, atunci trebuie să ai în vedere următoarele relații, valabile pentru orice punct P din plan.

, pentru că G și G' coincid.
Prin ipoteză, segmentele [HA'] și [BC] au același mijloc; vectorial, asta se scrie
. Adunând această relație cu analoagele ei se obține
, din care, .
Și din nou, triunghiul în care ortocentrul și centrul de greutate coincid nu poate fi decât echilateral.

Scrie răspuns
  • Subiecte similare
    Răspunsuri
    Vizualizări
    Ultimul mesaj